Arranjos

Usamos arranjos quando escolhemos certa quantidade de objetos de um conjunto e a ordem em que os escolhemos importa.

Dedução da fórmula

Vamos começar com um problema típico de arranjos: em uma cidadezinha, todo ano acontece um concurso para ver quem come mais coxinhas. Sete competidores bem lambuzados chegaram à final. Calcule de quantas maneiras esses sete participantes podem ocupar os três primeiros lugares.

É importante perceber que, neste exemplo, a ordem importa. Por exemplo, se sabemos que os três primeiros lugares serão de João, Pedro e Lucas, então esse trio gera seis classificações diferentes:

• João, Pedro, Lucas;
• João, Lucas, Pedro;
• Pedro, João, Lucas;
• Pedro, Lucas, João;
• Lucas, João, Pedro;
• Lucas, Pedro, João.

Todas essas são classificações diferentes, e queremos contar quantas classificações diferentes conseguimos montar quando os competidores são 7.

Para isso usamos o princípio multiplicativo. Dizemos que escolhemos ternas da forma (x₁, x₂, x₃), em que x₁ é o competidor que terminou em primeiro lugar e assim por diante. Quais competidores podemos colocar no lugar de x₁? Todos, ou seja, para x₁ podemos escolher entre 7 competidores. Quais podemos colocar no lugar de x₂? Todos, menos aquele que já colocamos em primeiro lugar, então para x₂ temos 7 − 1 = 6 competidores. Para x₃ podemos escolher os competidores que não estão nem em primeiro nem em segundo lugar, e assim temos 7 − 2 = 5 possibilidades. Aplicamos o princípio multiplicativo e obtemos o número total de possibilidades: 7 · 6 · 5 = 210.

Podemos observar que, se quisermos saber o número de possibilidades para os 4 primeiros lugares, para x₄ podemos escolher entre 7 − 3 = 4 competidores, de modo que o número total de possibilidades será 7 · 6 · 5 · 4 = 840. O que podemos concluir disso?

Se temos um conjunto com n elementos (aqui, no exemplo, 7 comedores) e escolhemos 3 elementos, sendo que a ordem importa, então o resultado é igual a n · (n − 1) · (n − 2). Para o primeiro lugar qualquer um pode ser escolhido, para o seguinte, um a menos, e assim por diante. Disso podemos deduzir a fórmula geral para a escolha de k elementos de um conjunto com n elementos: o número de possibilidades será igual a n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − k + 1).

Vamos ainda simplificar essa fórmula com a ajuda do fatorial. Se olharmos para o fatorial de sete, 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1, e para o modo como calculamos o número de classificações no pódio, 7 · 6 · 5, vemos certa semelhança. Só precisamos nos livrar do final, ou seja, precisamos dividir 7! por 4 · 3 · 2 · 1, de modo que sobre apenas 7 · 6 · 5. E quanto vale a expressão 4 · 3 · 2 · 1? Ela é igual a 4!.

Assim, podemos escrever que, se temos um conjunto com n elementos e escolhemos k elementos, sendo que a ordem importa, temos ao todo

$$A_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}$$

possibilidades. Substituindo na fórmula os números do concurso de coxinhas:

$$A_{7,3}=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=7\cdot 6\cdot 5=210.$$

Calculadora

A calculadora a seguir calcula o número de arranjos para n e k dados.

Exercícios resolvidos

1. Vamos continuar no concurso de coxinhas. Como mudaria o número de classificações possíveis no pódio se soubéssemos que o Zeca, que é craque e sempre vence, veio participar do concurso? Ou seja, quantas classificações diferentes no pódio existem se temos 7 competidores e o Zeca vence com certeza?

Isso é novamente um arranjo simples: o primeiro lugar é certo, e dos 6 competidores restantes precisamos determinar de quantas maneiras eles podem preencher o segundo e o terceiro lugares. Escolhemos, então, 2 elementos de um conjunto de 6, o que leva ao arranjo

$$A_{6,2}=\frac{6!}{(6-2)!}=30$$

2. Há muito tempo, quando o Zeca ainda não era um craque, ele sempre ficava entre os três primeiros. Quantas classificações diferentes no pódio existem se temos 7 competidores e o Zeca com certeza ganha alguma medalha?

   Este exercício difere do anterior porque não sabemos em que lugar o Zeca ficou; ele pode ter ficado em segundo ou até em terceiro, o que até hoje o deixa com vergonha. Por isso precisamos calcular três arranjos diferentes: o caso em que o Zeca venceu, depois o caso em que ele ficou com a medalha de prata e, por fim, com a de bronze. Mas, em todos os casos, sobram apenas dois lugares que outras pessoas podem ocupar. Se o Zeca foi o segundo, por exemplo, os outros participantes podem ter ficado em primeiro ou em terceiro lugar. Calculamos, então, novamente o arranjo de 6 elementos tomados 2 a 2, só que precisamos calculá-lo três vezes, para as três colocações diferentes do Zeca. O número de todas as classificações é, portanto, igual a:

   $$3\cdot A_{6,2}=3\cdot \frac{6!}{(6-2)!}=3\cdot 30=90$$

   Observe que esse 3 diante do arranjo pode ser escrito como A_3,1, porque na verdade escolhemos um elemento (uma colocação específica) de um conjunto de três elementos (as três posições do pódio).

3. Em uma escola há 20 professores. Em breve haverá a defesa de um trabalho e é preciso montar uma banca com a seguinte composição: um presidente, um examinador bonzinho e um examinador carrasco. Quantas possibilidades existem ao todo?

   Primeiro precisamos responder se a ordem importa — sim, importa, pois os três professores podem ser reorganizados de seis maneiras diferentes. Agora ficou simples: escolhemos um arranjo de 20 elementos tomados 3 a 3:

   $$A_{20,3}=\frac{20!}{17!}=6840.$$

4. Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5}, se nenhum algarismo pode se repetir?

   A ordem importa? Sim, 123 é um número diferente de 321. Quantas ternas diferentes existem? É um simples arranjo de 6 elementos tomados 3 a 3:

   $$A_{6,3}=\frac{6!}{3!}=120.$$

   Mas ainda precisamos subtrair os arranjos que têm zero na primeira posição, pois 012 não é um número de três algarismos. A pergunta agora é: quantas ternas diferentes começam por zero? Nesse caso, os algarismos variam apenas nas duas posições restantes (as ternas têm a forma (0, x₂, x₃)), então procuramos quantos pares diferentes podemos formar usando os números {1, 2, 3, 4, 5}. Isso também é simples: A_5,2 = 5!/3! = 20. Existem, portanto, 20 ternas que começam por zero.

   O número total de números de três algarismos formados com os algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5} é, então, 120 − 20 = 100.

5. Quantos números de três algarismos diferentes conseguimos formar com os algarismos {1, 2, 3, 4, 5}, se nenhum algarismo pode se repetir e o número resultante deve ser ímpar?

   A ordem importa, porque 123 é um número diferente de 321. Estamos formando um número de três algarismos que é ímpar, o que significa que nas duas primeiras posições pode ficar qualquer algarismo, mas na última precisa ficar um dos algarismos {1, 3, 5}. Primeiro calculamos o número de todas as ternas que conseguimos formar com cinco algarismos: A_5,3 = 5! / 2! = 60.

   Cada algarismo aparecerá na última posição com a mesma frequência, então, se temos 5 algarismos, cada um deles aparecerá na última posição 60 / 5 = 12 vezes. Temos três algarismos {1, 3, 5} que podem aparecer na última posição, então temos 12 números diferentes que terminam em 1, 12 números que terminam em 3 e 12 números que terminam em 5. Usamos o princípio aditivo e obtemos ao todo 12 + 12 + 12 = 36 possibilidades.

6. Calcule x, sabendo que A_x,2 = 72. Dito de outro modo: de um conjunto com x elementos escolhemos pares e sabemos que conseguimos escolher ao todo 72 pares diferentes. Qual era o tamanho do conjunto do qual escolhemos os pares? Vamos escrever:

   $$A_{x,2}=\frac{x!}{(x-2)!}=72$$

   Em seguida, simplificamos:

   $$\begin{array}{rcl}\frac{x!}{(x-2)!}& =& 72\\ \frac{x\cdot (x-1)\cdot (x-2)!}{(x-2)!}& =& 72\\ x\cdot (x-1)& =& 72\\ x^2-x& =& 72\\ x^2-x-72& =& 0\end{array}$$

   Essa já é uma clássica equação do 2º grau, então podemos resolvê-la com o discriminante ou reescrever a equação na forma

   $$(x+8)\cdot (x-9)=0$$

   da qual já podemos ler a solução: x₁ = −8 e x₂ = 9. A solução negativa não nos interessa, porque um conjunto não pode ter tamanho negativo, então a solução da equação original é x = 9: o conjunto tinha nove elementos.