Matriz inversa

A matriz inversa é uma matriz definida para matrizes quadradas inversíveis. Ao multiplicar uma matriz por sua matriz inversa, obtemos a matriz identidade.

Definição

A matriz inversa só pode ser calculada a partir de uma matriz quadrada; para uma matriz retangular, a matriz inversa não é definida. A matriz inversa da matriz A (representada por A⁻¹) só existe, além disso, se a matriz é inversível (não tem linhas linearmente dependentes). Essa matriz é então determinada de forma única. As duas propriedades principais da matriz inversa são:

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

E, principalmente, a propriedade mais importante da matriz inversa (que é, ao mesmo tempo, a definição da matriz inversa):

$$A\cdot A^{-1}=I$$

I é a matriz identidade.

Como calcular a matriz inversa

E agora o método de cálculo da matriz inversa. O algoritmo mais simples é a eliminação de Gauss, que consiste em transformar a matriz A na forma identidade e escrever ao lado dessa matriz a matriz identidade, realizando nela as mesmas operações que realizamos na matriz A. No fim do processo de cálculo, você tem, à esquerda, a matriz A transformada na matriz identidade e, à direita, a matriz inversa. Vamos experimentar com um exemplo simples:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Com uma olhada rápida, percebemos que a matriz é inversível, então faz sentido calcular a matriz inversa. Quando calculamos a matriz inversa, costumamos escrever na forma:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

Agora transformamos a matriz da esquerda na matriz identidade e realizamos operações idênticas na matriz da direita. Somamos −3 vezes a primeira linha à segunda. Primeiro a matriz da esquerda:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Agora somamos −3 vezes a primeira linha da matriz da direita à segunda linha da matriz da direita:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Agora precisamos obter zero na posição a₁₂. Basta somar a segunda linha à primeira. Desta vez, vou fazer as duas operações em um só passo:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

E agora nos livramos desse menos dois dividindo a linha inteira por menos dois:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

A matriz inversa resultante é:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Se você quiser verificar se a matriz inversa calculada está correta, multiplique-a pela matriz original:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Para conferir, você pode olhar no WolframAlpha.

Cálculo pelo determinante

Podemos ainda calcular a matriz inversa por meio do determinante. Vale que, se temos uma matriz inversível A, então a matriz inversa A⁻¹ tem elementos $a_{ij}^{-1}$ que são iguais a:

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

No lado esquerdo temos i,j, mas no numerador temos j,i; atenção, não é erro que estejam trocados assim. No numerador temos a matriz A_j,i, que é a submatriz da matriz A que obtemos quando retiramos de A a j-ésima linha e a i-ésima coluna. Assim, se

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

então vale:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

Se você não gosta de os índices estarem invertidos, podemos escrever também assim:

$$(a_{ij}^{-1}{)}^T=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Ou seja, se você não trocar os índices, calculará a matriz inversa transposta. Se você transpuser novamente essa matriz transposta, obterá a matriz inversa.

Calcular por esse método costuma ser demorado e serve principalmente para o processamento por computador, porque é muito direto. No exemplo, vamos tentar calcular apenas dois números. Considere esta matriz:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

Primeiro calculamos o determinante dessa matriz inteira, que é usado no denominador da fração:

$$det(A)=-1$$

Agora calculamos o primeiro elemento da matriz inversa. Vamos chamá-lo de $a_{11}^{-1}$. Ele será igual a:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Precisaremos da submatriz A_1,1. Omitindo a primeira linha e a primeira coluna, obtemos:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Agora precisamos calcular o determinante dessa matriz:

$$det(A_{1,1})=8$$

E agora já podemos substituir na fórmula:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

E temos o primeiro resultado da matriz inversa.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Obtemos o segundo número assim:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

O determinante da submatriz será igual a

$$det(A_{2,1})=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

E, substituindo tudo, obtemos:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Mais uma peça do quebra-cabeça:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

E assim por diante, e assim por diante.