Espaços vetoriais

Um espaço vetorial, às vezes também chamado de espaço linear, é um conjunto de elementos que devem cumprir algumas propriedades, graças às quais os elementos desse conjunto, que chamamos de vetores, se comportam “bem”.

Exemplo de espaço vetorial

Antes de definirmos o espaço vetorial, vamos mostrar um exemplo de espaço vetorial que você já deveria conhecer do ensino médio, só que sem saber que é um espaço vetorial. São os vetores clássicos no plano.

Por vetor no plano entendemos um par ordenado (a, b), em que a, b ∈ ℝ. São quaisquer coordenadas no espaço ℝ² (com isso queremos dizer o produto cartesiano ℝ × ℝ). Podemos representar esse vetor por uma seta do ponto (0, 0) até o ponto (a, b). O vetor (2, 3) teria esta aparência:

Sabemos que podemos somar vetores pela regra (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). A soma dos vetores (2, 3) + (4, 1) seria igual ao vetor (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4). Graficamente, representaríamos assim:

Ao mesmo tempo, podemos calcular o produto de um vetor por k, em que k é um número real. O produto por k é escrito como k · (a, b). O resultado é um novo vetor, definido como k · (a, b) = (k · a, k · b). Graficamente, isso aparece como o vetor “esticando”, “encurtando” ou mudando de sentido. Se temos o vetor u = (2, 3), então os vetores 2 · u, $\frac{1}{2}u$ e −1 · u têm esta aparência:

Vamos demonstrar mais adiante que o conjunto de todos os vetores ℝ² com as operações assim definidas forma um espaço vetorial. Primeiro, vamos definir o espaço vetorial e, nesse espaço vetorial ℝ², mostrar cada uma das propriedades.

Definição de espaço vetorial

Um espaço vetorial (ou também espaço linear) é um conjunto não vazio V cujos elementos chamamos de vetores. Além disso, devem existir no conjunto duas operações: a adição de vetores, isto é, uma função V × V ⟶ V, e a multiplicação de um vetor por um número real, isto é, uma função ℝ × V ⟶ V. (De modo mais geral, em vez do conjunto dos números reais, é possível usar qualquer corpo, mas isso fica para artigos posteriores.) A adição de vetores é representada pelo sinal + e a multiplicação, por ·. Essas duas operações devem cumprir as seguintes condições. Isto é, para todos x, y, z ∈ V e para todos a, b ∈ ℝ deve valer (repare que os vetores x, y, z estão em negrito, enquanto os números a, b estão em fonte normal):

1. x + y = y + x: a adição de vetores é comutativa. Se voltarmos ao exemplo dos vetores em ℝ², tanto faz se somamos os vetores assim (2, 3) + (4, 1) ou ao contrário: (4, 1) + (2, 3) .

• (x + y) + z = x + (y + z): a adição de vetores é associativa. Novamente, podemos substituir alguns vetores de ℝ² e veremos que dá certo.
• a · (b · x) = (a · b) · x: propriedade associativa da multiplicação. Para os nossos vetores, vale que 4 · (5 · (6, 7)) é o mesmo que (4 · 5) · (6, 7). Os dois exemplos levam ao vetor (20 · 6, 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y: propriedade distributiva para vetores de V. Novamente vemos que 2 · ((2, 3) + (4, 5)) é o mesmo que 2 · (2, 3) + 2 · (4, 5). As duas expressões levam ao vetor (2 · 6, 2 · 8).
• (a + b) · x = a · x + b · x: distributividade da adição de números.
• 1 · x = x: se multiplicamos qualquer vetor pelo número real 1, o valor do vetor não muda. No nosso caso, vale que 1 · (5, 8) = (5, 8).
• Existe um elemento 0 ∈ V tal que 0 · x = 0. O zero em negrito, isto é, 0, é o chamado vetor nulo, enquanto o zero sem negrito 0 é simplesmente o número zero. Este ponto diz que em V deve existir um vetor que obtemos multiplicando qualquer vetor x ∈ V pelo número zero. Para o nosso espaço ℝ², esse é o vetor (0, 0), porque, para todos os vetores (a, b) ∈ ℝ², vale que 0 · (a, b) = (0, 0).

Estas são todas as propriedades que um espaço vetorial (linear) V deve cumprir. Se multiplicamos um vetor por algum número real a, esse número a é chamado de escalar. Falamos, então, com frequência de multiplicação por um escalar e queremos dizer com isso uma expressão da forma a · x, em que a é um número real e x é um vetor.

O duplo significado do sinal de mais +

Atenção: em algumas expressões o sinal de mais + pode ter dois significados. Por exemplo, no ponto sobre a distributividade da adição de números temos a equação (a + b) · x = a · x + b · x. Nela, o sinal + do lado esquerdo da equação soma números reais, porque a e b são números reais, enquanto no lado direito soma vetores, porque o resultado do produto a · x é um vetor.

Esse reconhecimento automático é muito usado na matemática — pelo contexto, sempre fica claro de qual adição se trata. Se temos a expressão x + y e x, y são vetores, usamos a soma de vetores. Se x, y fossem números, usaríamos a soma usual. Se fossem matrizes, usaríamos a soma de matrizes, e assim por diante.

Poderíamos usar outro sinal para a adição de vetores, por exemplo ⊕. Então poderíamos escrever a distributividade da adição de números assim: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. O + normal aqui representa a adição dos números reais a, b, e o sinal ⊕ representa a adição de vetores. Na maioria das vezes, porém, se usa um só sinal + para as duas versões da adição, e o significado se reconhece pelo contexto. O mesmo vale para o sinal ·.

O espaço vetorial R²

Na primeira parte, definimos o espaço vetorial V = ℝ² e agora vamos demonstrar que realmente se trata de um espaço vetorial. Primeiro, precisamos verificar se temos as operações de adição e multiplicação bem definidas. A adição deve somar dois vetores, e o resultado deve ser um novo vetor. Isso é cumprido, porque (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Somando dois vetores de ℝ², surge um novo vetor de ℝ².

Se, por exemplo, definíssemos a adição de vetores como a soma dos seus módulos, essa não seria uma operação de soma válida em um espaço vetorial. Calcularíamos o módulo do vetor (a, b) como $\sqrt{a^2+b^2}$. O resultado da soma (3, 4) + (5, 12) seria, então, o número $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$, que não é um vetor do espaço ℝ².

Em seguida, precisamos verificar se a multiplicação está bem definida. A multiplicação multiplica um número real por um vetor de ℝ², e o resultado deve ser um novo vetor de ℝ². Isso também é cumprido, porque a multiplicação por um escalar está definida como k · (a, b) = (k · a, k · b).

Vamos verificar, uma a uma, todas as 7 propriedades que um espaço vetorial deve cumprir. No lugar dos vetores x, y, vamos substituir os nossos vetores (a, b), (c, d), … conforme for conveniente, e não se assuste com isso.

1. x + y = y + x, comutatividade da adição de vetores. A adição de vetores que definimos é comutativa? Sim, é, porque está definida como (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Se, no lado esquerdo, trocarmos os vetores, obtemos: (c, d) + (a, b) = (c + a, d + b). Como c + a é a soma de dois números reais e a soma de números reais é uma operação comutativa, vale que c + a = a + c e o mesmo para o segundo par: d + b = b + d. Vale, portanto, que (a + c, b + d) = (c + a, d + b).

• (x + y) + z = x + (y + z). Isto será uma brincadeira com parênteses. No fundo, são transformações simples, só que ficarão confusas, porque haverá parênteses demais. Vamos tentar calcular esta soma de vetores:

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)$$

Como a, c, e são números reais e a operação de adição é associativa nos números reais, vale que (a + c) + e = a + c + e. O mesmo para a segunda coordenada. Podemos escrever, então, que

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)$$

Agora vamos tentar somar os mesmos vetores com os parênteses dispostos de outro modo:

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a,b)+(c+e,d+f)=(a+(c+e),b+(d+f))$$

Novamente vale que a + (c + e) = a + c + e, então podemos escrever que

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a+c+e,b+d+f)$$

Vemos, assim, que, não importa como coloquemos os parênteses na soma de três vetores, sempre chegamos ao mesmo vetor (a + c + e, b + d + f). A operação de adição em ℝ² é, portanto, associativa e cumpre também a segunda propriedade dos espaços vetoriais.

Você pode tentar substituir as variáveis a, …, f por números concretos e verá que vai dar certo.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Novamente, primeiro desenvolvemos o lado esquerdo da equação, substituindo x pelo vetor (c, d):

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=a\cdot (b\cdot c,b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c),a\cdot (b\cdot d))$$

Como a multiplicação de números reais é associativa, obtemos a igualdade a · (b · c) = a · b · c. Podemos escrever, então:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Agora desenvolvemos o lado direito da equação, isto é, o lado (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=((a\cdot b)\cdot c,(a\cdot b)\cdot d)$$

Novamente vale que (a · b) · c = a · b · c, então:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Vemos que os dois lados da equação levam ao vetor resultante (a · b · c, a · b · d), então a equação vale.

• a · (x + y) = a · x + a · y. O procedimento será o mesmo; desenvolvemos o lado esquerdo da equação:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=a\cdot \left((c+e,d+f)\right)=(a\cdot (c+e),a\cdot (d+f))$$

Como a, c, e são números reais, nos quais a propriedade distributiva vale, obtemos a igualdade: a · (c + e) = ac + ae. Podemos escrever, então:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=(ac+ae,ad+af)$$

O lado direito da equação:

$$a\cdot (c,d)+a\cdot (e,f)=(ac,ad)+(ae,af)=(ac+ae,ad+af)$$

Vemos que o lado esquerdo e o lado direito da equação são iguais depois das transformações.

• (a + b) · x = a · x + b · x: Vamos proceder de modo muito parecido com o passo anterior. Transformação do lado esquerdo da equação:

$$(a+b)\cdot (c,d)=((a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d)=(ac+bc,ad+bd)$$

O lado direito:

$$a\cdot (c,d)+b\cdot (c,d)=(ac,ad)+(bc,bd)=(ac+bc,ad+bd)$$

• 1 · x = x: Eu, na verdade, nem acredito que alguém tenha conseguido ler até este ponto, mas tudo bem, vamos em frente :-). Este ponto, pelo menos, é simples. Devemos verificar que 1 · (a, b) = (a, b). Isso certamente vale, porque

$$1\cdot (a,b)=(1\cdot a,1\cdot b)=(a,b)$$

• Existe um elemento 0 ∈ ℝ² tal que 0 · x = 0: é o vetor (0, 0). Para ele vale que 0 · (a, b) = (0, 0), porque

$$0\cdot (a,b)=(0\cdot a,0\cdot b)=(0,0)$$

Tamanho dos espaços vetoriais

Qual é o menor espaço vetorial que existe? Pela definição, sabemos que um espaço vetorial é um conjunto não vazio V; o menor tamanho possível em que podemos pensar é, então, um conjunto com um único vetor. Pelo sétimo ponto da definição, sabemos que o espaço deve conter o vetor nulo. O conjunto V = {0} é, portanto, um candidato a menor espaço vetorial.

Podemos definir a adição como 0 + 0 = 0 e a multiplicação como a · 0 = 0. O que quer que façamos, sempre obtemos o vetor nulo. Evidentemente, esse conjunto de um único elemento terá as sete propriedades exigidas.

Já sabemos que existe um espaço vetorial com um único elemento. Existe um espaço vetorial que tenha dois elementos? Podemos definir, no conjunto V = {x, 0}, as operações de adição e multiplicação de modo que surja um espaço vetorial?

A resposta é que não: não existe espaço vetorial de dois elementos. E também não existe nenhum outro espaço vetorial finito, além do mencionado espaço de um único elemento. Todos os outros espaços vetoriais já são infinitos. Se, porém, como foi sugerido, usássemos em vez do conjunto dos números reais algum outro corpo, finito, poderíamos obter também outro espaço vetorial finito.

Resumo

A definição de espaço vetorial não é das mais simples: os vetores e as operações devem cumprir 7 condições no total, o que não é pouco. Por outro lado, essas condições são bastante triviais e compreensíveis — visam fazer com que seja agradável trabalhar com os vetores. Graças às condições definidas, podemos somar vetores de um espaço vetorial sem precisar verificar se o resultado da soma não será algum vetor de outro espaço vetorial. Do mesmo modo, podemos multiplicar um vetor por um número real e sempre obtemos um vetor do mesmo espaço. Que os vetores e as suas operações respeitem as propriedades comutativa, associativa e distributiva também é bastante natural.

Poderíamos definir o espaço vetorial também de modo mais geral. Em vez do conjunto dos números reais, podemos tomar qualquer corpo. Mas isso fica para artigos posteriores.