Relações

Uma relação é o equivalente matemático da ideia cotidiana de “vínculo”. Na vida real, por exemplo, Helena e Júlia têm um vínculo: é o vínculo “mãe — filha”. Outro vínculo desse tipo pode ser “país — capital desse país”. Como exemplo, podemos tomar Egito — Cairo.

Mais exemplos de relações

Vamos pegar mais alguns exemplos. Na introdução, mencionamos as relações (vínculos) “ser mãe da própria filha” e “ser a capital de um país”. Vejamos outras: “ser um número par”. Nessa relação estão os números 2, 4, 8, 18, 58, 66 e muitos outros. Os números 1, 3, −7, 19 não estão na relação “ser um número par”. Uma relação do mundo real pode ser “ser homem”. Pedro, Paulo, Lucas ou Gabriel estão na relação “ser homem”.

Outro exemplo é a relação “menor que”. Por exemplo, o número três é “menor que” o número cinco. Matematicamente, podemos escrever isso como 3<5. Ou a relação de igualdade: o número três “é igual a” três, matematicamente: 3 = 3.

Também podemos ter exemplos mais complicados: “o pai e a mãe são os pais de uma criança”. Nessa relação haverá um trio de pessoas: o pai Daniel, a mãe Maria e a criança Beatriz. Na matemática, poderíamos inventar uma relação com três elementos assim: a soma dos dois primeiros números é igual ao terceiro número. Por exemplo, estes números, nesta ordem, estão nessa relação: 3, 4, 7, porque 3 + 4 = 7. Estes números não estão na relação: 3, 5, 12, porque 3 + 5 ≠ 12.

Aridade de uma relação

Aridade é um termo de som estranho, mas que apenas expressa quantos elementos temos na relação. Nos exemplos anteriores, trabalhamos com números diferentes de elementos. Na relação “ser homem”, bastou um elemento, e podemos dizer: “Pedro é homem”. Basta um nome, um elemento. Dizemos que essa relação é unária.

No exemplo seguinte, tínhamos a relação “menor que”. Ela trabalhava com dois números, com dois elementos. Dissemos que o número três é menor que cinco. Usamos dois elementos, portanto a relação é binária.

No último exemplo, usamos três elementos ao todo: a soma de dois números devia ser igual ao terceiro. Tínhamos, então, os números a, b, c e devia valer a + b = c. Essa relação seria ternária.

Para aridades maiores, podemos usar a expressão relação n-ária. Mas também podemos usá-la para aridades menores: podemos chamar uma relação binária de relação 2-ária. Os elementos da relação são então escritos na forma de n-uplas ordenadas. Se temos uma relação binária, escrevemos os elementos como pares, geralmente com parênteses ou com colchetes. Assim, se queremos escrever que os números três e cinco estão na relação “menor que”, precisamos escrevê-los como um par: (3, 5), ou então [3, 5]. Atenção: devemos respeitar a ordem, pois no sentido contrário não valeria: (3, 5) ≠ (5, 3) — cinco não é menor que três.

Um exemplo em família

Antes de passarmos às definições matemáticas, vamos tentar mais um exemplo típico, com uma família. Considere estes membros de uma família:

• Mateus: avô paterno;
• Paulo: pai;
• Helena: mãe;
• Larissa: filha;
• Pedro: filho.

Primeiro, vamos procurar todos os membros da família que correspondem à relação “ser homem”. Trata-se de uma relação 1-ária, ou seja, unária. Na relação, portanto, sempre haverá apenas um elemento, um membro da família. Agora precisamos listar todos os membros da família do sexo masculino. Aqui a ordem não importa. A relação “ser homem” contém, portanto, estes elementos: {[Mateus], [Paulo], [Pedro]}. Repare que, embora seja uma relação unária, usamos colchetes. Isso não é necessário de forma alguma, e a notação seria legível mesmo sem eles, mas, por coerência, mantive os colchetes. O conjunto de todos os elementos da relação é, então, um simples conjunto, daí essas chaves meio esquisitas.

Agora vamos procurar todas as relações “pai — filho”. Essa já é, à primeira vista, uma relação binária, e o resultado terá pares ordenados de elementos. O conjunto resultante é assim: {(Paulo, Pedro), (Mateus, Paulo)}. O pai Paulo é pai do filho Pedro, e o avô Mateus é pai do pai Paulo. Repare que a ordem realmente importa: Paulo aparece duas vezes, mas uma vez na primeira posição, como pai, e outra na segunda posição, como filho.

Vamos tentar outra relação: “pai ou mãe — filho ou filha”. Aqui haverá mais pares, porque na primeira posição pode estar qualquer um dos pais, tanto o pai quanto a mãe, e na segunda posição pode estar qualquer um dos filhos, tanto o filho quanto a filha. Também precisamos levar em conta que o avô Mateus é pai de Paulo, mas não é pai de Helena. Paulo e Helena, porém, são ambos pais de Larissa e de Pedro. Larissa e Pedro não são pais de ninguém, porque têm só dezenove e treze anos. No final, os pares ordenados serão estes: {(Mateus, Paulo), (Paulo, Larissa), (Paulo, Pedro), (Helena, Larissa), (Helena, Pedro)}. Repare que Paulo e Helena aparecem duas vezes — uma vez como pais da filha Larissa e outra como pais de Pedro.

Mais um desafio sobre relações binárias. Considere esta relação: “irmão ou irmã — irmão ou irmã”. Aqui precisamos lembrar que nas relações a ordem importa; portanto, se escrevêssemos no resultado dessa relação apenas “Larissa — Pedro”, estaria errado, porque esse é um par ordenado completamente diferente de “Pedro — Larissa”. Por isso, o resultado correto é: {(Larissa, Pedro), (Pedro, Larissa)}.

E, por fim, um exemplo curtinho de relação ternária: escreva todas as ternas ordenadas desta relação: “avô — pai — criança”. No enunciado temos apenas um avô e um pai, mas duas crianças. Não basta escrever só a variante com Larissa ou com Pedro; precisamos listar os dois. Seria diferente se no final, em vez de “criança”, estivesse “filho”. O resultado correto é: {(Mateus, Paulo, Larissa), (Mateus, Paulo, Pedro)}.

Definição de relação unária

Vamos explorar as relações mais simples, as unárias. Por relação unária entendemos algum conjunto de elementos. O conjunto {2, 3} pode representar alguma relação. Por exemplo, a relação “ser um número primo menor que cinco” ou “ser um divisor não trivial do número seis”, dependendo da nossa interpretação.

Os leitores mais atentos notaram que a segunda relação está definida de um jeito um pouco estranho. Ela diz que a relação deveria conter os divisores não triviais do número seis, e no conjunto resultante temos os números 2 e 3. Não está faltando algum? Os números 1 e 6 são divisores triviais, e esses não nos interessam. Mas deveriam estar ali também os números negativos, ou seja, −2 e −3. O conjunto de todos os divisores não triviais do número 6 é assim: {−3, −2, 2, 3}.

Assim como nas funções especificamos o domínio, numa relação especificamos o conjunto base — o conjunto do qual escolhemos os elementos da relação. Nos exemplos anteriores, especificamos, por exemplo, uma família em que havia o avô Mateus etc. Não escolhemos os pais e os filhos de todas as famílias do mundo. Se especificarmos como conjunto base o conjunto dos números naturais, então a nossa relação estará em ordem.

Agora já podemos passar à definição de relação. Se o conjunto base são os números naturais, que elementos pode conter a nossa relação unária? Novamente, apenas números naturais. Todos ou só uma parte deles. Podemos dizer, então, que essa relação será um subconjunto do conjunto dos números naturais. De modo mais geral, se temos uma relação unária R e um conjunto base M, então vale R ⊆ M, ou seja, a relação R é um subconjunto do conjunto M.

Definição de relação binária

Como será para uma relação binária? Em uma relação binária, os elementos da relação R são pares ordenados. Cada elemento do par pode vir de um conjunto diferente. Podemos ter a relação “pai ou mãe — número de filhos”. O pai ou a mãe será escolhido de um conjunto de pessoas, digamos, da Europa, e o número de filhos será escolhido do conjunto dos números naturais.

Como obtemos, a partir de dois conjuntos, o conjunto de todos os pares possíveis? Por meio do produto cartesiano. Se temos os conjuntos A = {a, b, c}, B = {1, 2}, então o produto cartesiano nos dá:

$$A\times B=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}$$

Esse é o conjunto de todos os pares possíveis que podemos obter colocando na primeira posição um elemento do conjunto A e na segunda posição um elemento do conjunto B. Assim, se temos uma relação binária R entre os conjuntos A e B, podemos defini-la como R ⊆ A × B.

Se mantivermos os conjuntos A e B anteriores e definirmos uma relação R entre eles assim: “letra — posição da letra no alfabeto”, essa relação será: R = {(a, 1), (b, 2)}. A letra c já não estará ali, porque no produto cartesiano A × B não aparece o par (c, 3).

Definição de relação n-ária

Por fim, vamos definir a relação n-ária geral R entre os conjuntos M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

Uma relação é, portanto, um subconjunto de n-uplas ordenadas. Um exemplo de relação binária é a relação “menor que”, ou seja, <. Podemos defini-la entre alguns conjuntos numéricos, por exemplo, entre os números naturais. Então a relação ficará assim:

$$<\subseteq {\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$$

(Não se assuste com o fato de o símbolo < estar do lado esquerdo desse jeito estranho. É apenas o nome da relação. Poderia estar ali novamente R, com R representando a relação menor que.)

Concretamente, a relação ficaria assim:

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\dots \\ & & (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\dots \\ & & (3,4),(3,5),(3,6),(3,7),\dots \\ & & (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

É o conjunto dos pares ordenados tais que o número natural na primeira posição é menor que o número natural na segunda posição.

Notação das relações

Normalmente damos nome às relações com letras maiúsculas R, S etc. ou com símbolos consagrados: <, ⊆, = etc. Pelas definições anteriores, vemos que uma relação é, na verdade, um conjunto. Aliás, quase tudo na matemática é, no fundo, um conjunto :-). Por isso, se queremos dizer que um elemento r pertence à relação R, podemos escrever r ∈ R.

Por exemplo, podemos escrever (1, 3) ∈ <, e isso significa que o par de números um e três pertence à relação menor que. Nas relações binárias, é comum encontrarmos uma notação mais agradável, que você já conhece desde o ensino fundamental. Em vez de usar o operador de pertinência ∈, simplesmente escrevemos 1 < 3. Do mesmo modo, normalmente não escrevemos (5, 5) ∈ =, mas sim 5 = 5.