Conjuntos

Um conjunto pode ser entendido como uma coleção de elementos. Cada conjunto contém, portanto, certa quantidade de elementos, que pode ser finita ou infinita. Ele também pode não conter nenhum elemento; nesse caso falamos em conjunto vazio. Costumamos representar um conjunto por uma letra maiúscula, por exemplo M, e os elementos do conjunto por uma letra minúscula m.

O que é um conjunto

O conjunto é um dos conceitos fundamentais da matemática, e por meio dele se definem muitas outras coisas. Por isso é bom esclarecer logo no começo o que é um conjunto, para você não se perder mais adiante nos estudos.

Um conjunto, portanto, é uma coleção de elementos quaisquer. Na matemática, o mais comum é trabalharmos com conjuntos numéricos, isto é, conjuntos cujos elementos são números. A escrita clássica de um conjunto na matemática é esta:

$$M=\{1,2,3\}$$

Com isso, descrevemos um conjunto de nome “M”, que contém três elementos: o um, o dois e o três. Sempre escrevemos os conjuntos entre chaves; praticamente sempre que você vir chaves, trata-se de algum conjunto.

Para que podemos usar os conjuntos? Os conjuntos muitas vezes determinam quais elementos podemos escolher. Por exemplo, na vida cotidiana você poderia dizer algo como “Ana, vamos jogar um jogo, tá? Pense em um número de um a cinco.” Com isso, você delimitou para a Ana um conjunto de números dentre os quais ela pode escolher. Na matemática, você usaria um conjunto:

$$L=\{1,2,3,4,5\}$$

E depois poderia dizer à Ana: “Ana, vamos jogar um jogo, tá? Pense em um número qualquer que esteja contido no conjunto L.” Com certeza o jogo ficaria logo mais divertido. Na matemática, usamos o símbolo ∈ para escrever que um elemento pertence a um conjunto e, quando não pertence, usamos ∉. Se quisermos dizer que o um pertence ao conjunto L, mas o sete não, escrevemos assim: 1 ∈ L e 7 ∉ L.

O conjunto pode, é claro, ser vazio; para isso serve a escrita P = {} ou, mais simples, P = ∅. Cuidado: as duas escritas significam “conjunto vazio”; se você escrever assim: P = {∅}, estará escrevendo um conjunto que contém dentro de si o conjunto vazio. Isso não é a mesma coisa que o conjunto vazio.

Falta de ordem e repetições

Não dizemos que um conjunto tem seus elementos dispostos em alguma ordem. Um conjunto contém uma coleção não ordenada de elementos. Se tivéssemos dois conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 2, 1}, diríamos que eles são iguais. A ordem dos elementos no conjunto simplesmente não importa.

Do mesmo modo, não nos interessam os elementos repetidos. Se um conjunto contém vários elementos iguais (vários números iguais), consideramos sempre apenas uma única ocorrência do elemento. Novamente, se tivéssemos estes dois conjuntos A = {1, 1, 2, 2, 2} e B = {2, 1}, nós os consideraríamos iguais. Não importa que o conjunto A contenha “mais” elementos, porque ele contém elementos repetidos duas ou três vezes. Ao trabalhar com conjuntos, simplesmente eliminamos esses elementos repetidos.

Tamanho e igualdade

Podemos definir o conceito de tamanho de um conjunto, que é o número de elementos do conjunto. No exemplo anterior, A = {1, 1, 2, 2, 2} e B = {2, 1}, o tamanho do conjunto A é dois, mas o tamanho do conjunto B também é dois, porque nem ao contar os elementos do conjunto nos interessam os elementos repetidos. O tamanho de um conjunto é indicado entre barras verticais: |A| = |B| = 2.

Como você provavelmente já entendeu, dois conjuntos são iguais se ambos têm os mesmos elementos. Alguns exemplos:

$$\begin{array}{rcl}\{1,2,3\}& =& \{1,2,3\}\\ \{1,2,3\}& =& \{1,2,3,2,3,1\}\\ \{a,h,o,j\}& =& \{o,o,h,j,a,o\}\\ \{1,3,5,9\}& \ne & \{1,3,9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

Uma propriedade importante é que os conjuntos podem ter como elemento outro conjunto. Exemplo: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. É importante perceber que o conjunto C tem três elementos, e não seis. O conjunto C contém três elementos: o um, o dois e um conjunto. Os elementos 3, 4, 5 e 6 estão contidos no conjunto interno, não no conjunto C. Logo, vale |C| = 3. Um exemplo mais complicado:

$$D=\{0,\{1,\{2,3\}\},\left\{4\right\}\}$$

Quantos elementos tem o conjunto D? Ele tem três elementos, que são estes:

$$D_1=0,D_2=\{1,\{2,3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

Um conjunto pode ser finito ou infinito. Todos os que mencionamos até agora são finitos. Um conjunto infinito é, por exemplo, o conjunto de todos os números.

Subconjunto

Considere dois conjuntos A = {1, 2} e B = {1, 2, 3}. Esses conjuntos são diferentes, porque não têm os mesmos elementos; o conjunto B é maior. No entanto, você certamente notou que o conjunto B contém exatamente os mesmos elementos que o conjunto A, só que tem a mais o elemento 3. Nesse caso, podemos dizer que A é subconjunto de B.

Se A é subconjunto de B, então todos os elementos que o conjunto A contém também têm de estar no conjunto B. Ser subconjunto é uma relação e a escrevemos com o símbolo ⊆. Definição formal:

$$A\subseteq B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

Em geral se admite que os conjuntos A e B podem ser iguais, e mesmo assim vale A ⊆ B. Se quisermos expressar a variante estrita do subconjunto, usamos outro símbolo: ⊂. Então, se A ⊂ B, o conjunto B tem de ser maior (se for finito), isto é, tem de conter um elemento que o conjunto A não contém. Chamamos A, nesse caso, de “subconjunto próprio”. Logo, se A ⊂ B, então A é subconjunto próprio de B. Definição de subconjunto próprio:

$$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$$

A definição é igual à do subconjunto comum, só que os dois conjuntos não podem ser iguais. Alguns exemplos:

$$\begin{array}{rcl}\{a,h,o\}& \subseteq & \{a,h,o,j\}\\ \{a,h,o\}& \subset & \{a,h,o,j\}\\ \{2,4,6\}& \subseteq & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{2,4,6\}& \subset & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{1,2,3\}& ⊈& \{1,3\}\\ \{1,2,3\}& \not\subset & \{1,3\}\\ \{0,1\}& \subseteq & \{0,1\}\\ \{0,1\}& \not\subset & \{0,1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& ⊈& \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subseteq & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subset & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\end{array}$$

Propriedades do subconjunto:

• A ⊆ A: todo conjunto é sempre subconjunto de si mesmo.
• A ⊄ A: um conjunto nunca é subconjunto próprio de si mesmo.
• ∅ ⊆ A: o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
• A ⊄ ∅: o conjunto vazio não tem nenhum subconjunto próprio.

Com os subconjuntos, podemos escrever a igualdade de conjuntos:

$$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$$

Se os dois conjuntos são iguais, então cada um é subconjunto do outro.

O subconjunto também pode ser chamado pela palavra “inclusão”.

Conjunto das partes

O conjunto das partes é o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado. Costuma ser indicado por P(M) ou por 2^M.

Exemplo: M = {1, 2, 3}. Quais são todos os subconjuntos? Com certeza são o subconjunto vazio e o próprio conjunto M. Além deles: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Todos esses conjuntos formam o conjunto das partes do conjunto M. Escrevemos: P(M) = {∅, M, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.

Como o conjunto vazio é subconjunto de todo conjunto e M é sempre subconjunto de M, sempre valerá ∅ ∈ P(M) e M ∈ P(M).

Como escrever um conjunto

Já mencionamos uma maneira, a simples listagem dos elementos. Para isso usamos chaves. M = {1, 2, 3} ou N = {a, b, c, d} etc. Se escrevemos um conjunto infinito, podemos usar reticências, quando é evidente como a sequência de elementos continua: M = {1, 2, 3, …}

A principal maneira de escrever um conjunto é pela propriedade característica do conjunto (descrição por compreensão). Em geral, a escrita seria assim: {x ∈ X | P(x)}, em que X é o conjunto do qual escolhemos os elementos e P(x) é alguma fórmula que especifica os elementos do conjunto. A fórmula pode ser escrita de forma puramente matemática ou em palavras. No lugar de “|” também se usa o ponto e vírgula: “;”.

Por exemplo, “seja o conjunto M formado por todos os números que indicam algum dia do mês”. Um mês tem no máximo 31 dias, então esse conjunto teria 31 elementos, de 1 a 31. Poderíamos escrevê-lo com reticências assim: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. Outra escrita do mesmo conjunto poderia ser esta: {x ∈ ℤ | x indica um dia do mês}, em que ℤ representa o conjunto dos números inteiros.

Um exemplo mais matemático poderia ser “seja o conjunto P formado por todos os números positivos que são divisíveis por 5”. Então o conjunto ficaria assim: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

Vamos escrever matematicamente o conjunto T dos números naturais menores que dez: T = {x ∈ ℕ^* | x<10}. Essa escrita nos diz: o conjunto T é formado pelos elementos x que tomamos do conjunto dos números naturais (sem o zero) e que cumprem a condição de serem menores que 10. Então olhamos para os números naturais e devolvemos só os que são menores que dez: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. E é só isso.

Outro exemplo: Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}. Definimos o conjunto Y, que contém os elementos x tomados dos números inteiros, e a única condição que x precisa cumprir é não ser zero. O conjunto Y contém, portanto, todos os números inteiros, exceto o zero.

Outro exemplo: G = {x ∈ ℝ | x · x = x}. O conjunto G contém os elementos x tomados dos números reais, e para todos eles tem de valer que, ao multiplicá-los por eles mesmos, obtemos novamente o número x. Por exemplo, podemos tentar o número 5. Pela definição, deveria valer esta igualdade: 5 · 5 = 5. Isso evidentemente não vale, então o número 5 não será elemento do conjunto G. Vamos tentar o um: 1 · 1 = 1. Para ele isso evidentemente vale, então o um será elemento do conjunto G. O segundo e último elemento será o número zero. Para nenhum outro valerá. Podemos então escrever: G = {0, 1}.

E o último exemplo. Vou escrever algo mais complicado, para você ver que a propriedade característica também pode ser complicada:

$$X=\{x\in \mathbb{R}|(x^2=2x)\vee (\mathrm{sen}(x)=\pi \wedge \cos (x)=\pi )\}$$

Na prática, o conjunto é definido com mais frequência por uma propriedade característica, e dá para dizer que uma parte bem grande dos conceitos da matemática é definida por meio de conjuntos. Se tomarmos, por exemplo, um intervalo, podemos dizer que o intervalo ]a, b[ é o conjunto I para o qual vale:

$$I=\{x\in \mathbb{R}|(x>a)\wedge (x<b)\}$$

São todos os elementos do conjunto dos números reais que são maiores que a e menores que b, que é exatamente o que o intervalo expressa.

Outras fontes

• Wikipédia