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Corpos algébricos

Para entender a explicação a seguir, você não precisa de nenhuma habilidade ou conhecimento especial de matemática. Basta entender o básico da matemática do ensino médio e ter vontade de aprender algo novo.

O bicho-papão chamado corpo algébrico

Se o simples nome corpo algébrico já deixa você de cabelo em pé, saiba que realmente não há nada a temer. Um corpo é, na verdade, uma coisa muito simples, desde que olhemos para ele do ângulo certo.

Corpo algébrico é qualquer conjunto arbitrário mais duas operações binárias que cumprem certas condições. Só isso. Nem mais, nem menos. Como você vê, nada perigoso nem assustador. E, agora que sabemos disso, podemos olhar mais de perto sem nenhum medo.

O conjunto de elementos do corpo

Vamos chamar o nosso conjunto arbitrário de T e seus elementos de elementos do corpo. Acredite, amigos, o conjunto de elementos do corpo pode ser absolutamente qualquer um. Pode ser o conjunto de todos os números pares, o conjunto de todas as meias cujo par você perdeu ou, quem sabe, a sua coleção de elefantes de pelúcia. A única condição é que o conjunto T não pode ser vazio. Senão, não nos divertiríamos muito.

Operação binária

Se não está claro de imediato o que é uma operação binária, você pode imaginá-la como um pequeno moedor. Você coloca nele dois elementos (daí o “binária” no nome) de algum conjunto, gira de leve a manivela e sai outro elemento do seu conjunto. Uma bela operação binária é, por exemplo, a divisão. Quer saber quanto é 10 / 5? Pegue a operação binária de divisão (o moedor), em que o seu conjunto é o conjunto dos números reais. Coloque no moedor primeiro o dez e depois o cinco, gire a manivela e, olha só, sai o dois.

Vamos chamar as nossas duas operações de adição e multiplicação e representá-las por ⊕ e ⊗. Não se deixe enganar pelo nome. Essas operações podem ter pouco a ver com a adição e a multiplicação que usamos normalmente. Isso acontece justamente porque os elementos do corpo podem ser quaisquer objetos. E a “nossa” adição e multiplicação não se aplicam a elefantes de pelúcia ou a meias.

Operações sobre o corpo

As operações ⊕ e ⊗ precisam cumprir certas condições. Não podemos defini-las de qualquer jeito. O objetivo de introduzir essas operações é generalizar a adição e a multiplicação comuns, que usamos com números. Queremos que elas possam ser aplicadas aos elementos do corpo que, como já sabemos, podem ser objetos absolutamente quaisquer, e não apenas números. Mesmo assim, queremos que as operações ⊕ e ⊗ conservem o sentido básico da adição e da multiplicação. Para garantir isso, introduzimos dez condições que essas operações devem cumprir para que a nossa estrutura seja um corpo. Vamos chamar essas condições de axiomas de corpo. Aqui estão eles:

  1. Comutatividade da adição — Para quaisquer dois elementos a, b do corpo T, deve valer a ⊕ b = b ⊕ a.
  • Associatividade da adição — Para quaisquer três elementos a, b, c do corpo T, deve valer (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
  • Existência do elemento nulo — Deve existir um elemento do corpo T, que chamaremos de 0 (atenção, não confunda com o número 0), com a propriedade de que, para qualquer elemento a do corpo T, vale a ⊕ 0 = a.
  • Existência do elemento simétrico — Para cada elemento a do corpo T deve existir um elemento do corpo T, que chamaremos de -a, com a propriedade de que vale a ⊕ −a = 0.
  • Comutatividade da multiplicação — Para quaisquer dois elementos a, b do corpo T, deve valer a ⊗ b = b ⊗ a.
  • Associatividade da multiplicação — Para quaisquer três elementos a, b, c do corpo T, deve valer (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
  • Existência do elemento unidade - Deve existir um elemento do corpo T, que chamaremos de 1 (atenção, não confunda com o número 1), com a propriedade de que, para qualquer elemento a do corpo T, vale a ⊗ 1 = a.
  • Existência do elemento inverso — Para cada elemento a do corpo T diferente de 0 deve existir um elemento do corpo T, que chamaremos de a−1, com a propriedade de que vale a ⊗ a−1 = 1.
  • Distributividade - Para quaisquer três elementos a, b, c do corpo T, deve valer a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
  • Não trivialidade — O elemento nulo e o elemento unidade não podem ser um só e o mesmo. Ou seja, 0 ≠ 1

Para quem quiser treinar o formalismo matemático, escrevi aqui os axiomas do corpo do jeito que se escrevem na linguagem matemática.

  1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
  • ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
  • ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
  • ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
  • ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
  • ∀a ∈ T   ∃a−1 ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a−1 = 1
  • ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
  • 0 ≠ 1

Agora você talvez esteja pensando que são axiomas demais. Mas todos são fáceis de entender quando percebemos o que significam. Os quatro primeiros descrevem as propriedades usuais da adição, e os quatro seguintes, as propriedades usuais da multiplicação, que ainda por cima são muito parecidas com as quatro primeiras. O nono axioma diz como a adição e a multiplicação se relacionam. Só o décimo é uma questão mais técnica, que garante que o corpo não possa ter propriedades estranhas.

Repare como evitamos com elegância introduzir a subtração e a divisão. Essas operações são definidas por meio da adição do elemento simétrico e da multiplicação pelo elemento inverso. Assim, por exemplo, 4 − 2 é apenas uma abreviação de 4 + (−2), e 4 / 2 é apenas uma abreviação de 4 · 2−1.

Um desfile de corpos

Agora já temos formalmente definido o conceito de corpo algébrico. Se quisermos expressar de forma intuitiva o que é, afinal, um corpo, podemos dizer que é uma estrutura que nos permite somar, subtrair, multiplicar e dividir quaisquer objetos nos quais consigamos definir essas operações, de um modo parecido com o que fazemos na aritmética elementar.

O nosso primeiro corpo

Já que inventamos e descrevemos tão bem os corpos, vamos construir um corpo de verdade. Primeiro escolhemos o conjunto de elementos do corpo. Por enquanto, não vamos fazer muitos experimentos com elefantes de pelúcia ou meias e escolheremos números naturais como elementos do corpo. Para tudo ficar bem simples, tomaremos apenas os números 0, 1, 2, 3, 4. Ou seja, o nosso conjunto T será assim:

T={0,1,2,3,4}

Agora só falta definir de forma esperta as operações ⊕ e ⊗. Aqui vamos nos apoiar na adição e na multiplicação que já conhecemos da aritmética. Mas vamos modificá-las um pouco para que funcionem também no nosso corpo.

  • Operação ⊕ A soma de dois elementos a ⊕ b é feita assim: calculamos o resto da divisão da soma a + b por cinco. As adições no nosso corpo ficam, portanto, assim: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 etc.
  • Operação ⊗ O produto de dois elementos a ⊗ b é feito assim: calculamos o resto da divisão do produto ab por cinco. As multiplicações no nosso corpo ficam, portanto, assim: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    etc.

Pronto. Agora já temos um corpo completo. Só falta verificar se todos os axiomas valem, para termos certeza de que fabricamos mesmo um corpo e não alguma aberração.

  • A comutatividade e a associatividade da adição e da multiplicação você certamente consegue verificar sozinho, assim como a distributividade.
  • Da maneira como definimos a adição e a multiplicação, também decorre que existem um elemento nulo (no nosso caso, por acaso, o número 0) e um elemento unidade (no nosso caso, o 1), que são diferentes entre si.
  • Agora só nos resta verificar a existência do elemento simétrico e do inverso. Todos nós vemos com certeza que, para cada número do conjunto {0, 1, 2, 3, 4}, existe um número do mesmo conjunto tal que o resultado da soma dos dois é zero ou cinco (ou seja, no nosso corpo, 0).
  • De modo parecido vale também para a multiplicação: para cada número não nulo desse conjunto existe um número com o qual o produto dá resto 1 na divisão por cinco (ou seja, no nosso corpo, 1). Por exemplo, o número 4 tem como inverso o próprio 4, porque 4 · 4 = 16 e, dividindo por 5, o resto é 1. Tente encontrar os outros inversos!

Exemplos de outros corpos

Há pouco construímos um corpo que tem cinco elementos. Acontece que, do mesmo modo, podemos construir outros corpos cujo número de elementos é um número primo. Esses corpos são chamados de corpos dos restos e se representam por Zp, em que p é o número de elementos do corpo. Eles são muito usados tanto na matemática e na computação quanto, é claro, em exercícios de prova.

É possível construir corpos com um número de elementos que não seja primo? Sim, é, mas já não do jeito que acabei de mostrar. Por quê? Imagine um corpo construído pelo procedimento descrito acima que tenha apenas quatro elementos. Nesse corpo vale 2 ⊗ 2 = 0. Ou seja, o produto de dois números não nulos é zero. Isso não pode acontecer em um corpo. Não é proibido diretamente pelos axiomas do corpo, mas pode ser deduzido deles com bastante facilidade. Acontece, porém, que, se em vez de números usarmos polinômios como elementos do corpo, é possível construir também corpos cujo número de elementos é uma potência de um número primo. Ou seja, existe um corpo de quatro elementos, porque quatro é uma potência de dois.

É claro que também existem corpos com um número infinito de elementos. Por exemplo, o conjunto dos números reais com as nossas operações habituais de adição e multiplicação também forma um corpo. Isso vale não só para os números reais, mas também para os racionais e os complexos. Os números naturais e os inteiros não formam um corpo, porque neles faltam os elementos simétricos e inversos, respectivamente.

E o melhor fica para o final. Ninguém nos obriga a ter corpos formados por números, polinômios ou, em geral, por objetos matemáticos. Como eu já disse, você pode construir um corpo de meias, de elefantes de pelúcia etc. O único problema talvez seja como definir a adição e a multiplicação com elefantes. O interessante aqui é que você nunca vai conseguir construir um corpo que contenha seis meias, porque seis não é nem um número primo nem uma potência de um número primo. Mas você pode muito bem construir um corpo com dezessete meias, numerar cada uma delas (a meia branca será 0, a preta 1, a verde 2 etc.) e depois somá-las do mesmo jeito que somamos no corpo dos restos.

E para que serve tudo isso?

Se você leu até aqui, talvez esteja se perguntando para que, afinal, precisamos de uma estrutura tão maluca quanto o corpo algébrico. Pois bem, os corpos são muito importantes, tanto do ponto de vista teórico, porque descrevem e, principalmente, generalizam aquilo que se poderia chamar de contar, ou seja, a aritmética, quanto do ponto de vista prático, porque muitos problemas matemáticos ou de computação ficam mais fáceis de resolver quando os imaginamos como contas em corpos. Os corpos finitos têm, por exemplo, grande importância para os códigos de CDs e DVDs. Quanto à álgebra linear em si, os corpos são a pedra fundamental de outras estruturas mais complexas e, por isso, bem mais úteis e interessantes, como os espaços vetoriais. Eles formam, de certo modo, a base de toda a álgebra linear.

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O autor deste artigo é Lishaak.