Posto de uma matriz

O posto de uma matriz é o número que representa a quantidade de linhas ou colunas independentes da matriz.

Definição

O posto de uma matriz é o número máximo de linhas/colunas linearmente independentes na matriz. A matriz nula tem posto zero; qualquer outra matriz tem posto pelo menos um. Uma matriz de ordem m × n pode ter posto no máximo min(m, n). Ou seja, se a matriz tem menos linhas que colunas, o posto da matriz será, no máximo, igual ao número de linhas. De modo análogo para colunas.

O posto de uma matriz costuma ser representado pela própria palavra “posto” (em inglês, “rank”). Escrevemos, então, posto(A) = x.

Como calcular o posto

Agora, como se calcula o posto de uma matriz. É bem simples. Você precisa transformar a matriz em uma forma em que já se veja claramente quais linhas são linearmente independentes. Isso é feito, na maioria das vezes, escalonando a matriz (só zeros abaixo da diagonal), e então já dá para ver como está a matriz. Sem mais delongas, vamos a um exemplo — temos esta matriz:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& -1\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

E devemos descobrir o seu posto. Agora precisamos perceber um pequeno detalhe. Se temos duas linhas cheias de números diferentes de zero, elas podem, em teoria, ser linearmente dependentes. Teríamos de calcular. Mas, se uma dessas linhas tiver um zero em algum lugar e a outra linha não tiver zero no mesmo lugar, podemos afirmar com certeza que elas não são dependentes. Não encontraremos nenhum número pelo qual possamos multiplicar aquele zero (e, portanto, a linha inteira) para obter ali o mesmo número que está na outra linha. Por isso, sempre procuraremos transformar as matrizes em forma escalonada, para conseguir esses zeros.

O parágrafo anterior pode ser escrito assim. Se α₁, α₂ ≠ 0, então:

$${\alpha }_1\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+{\alpha }_2\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{ccc}0& a& b\end{array}\right)$$

Por isso, procuramos levar a matriz a uma forma parecida, para ver facilmente as dependências. Veja um exemplo:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& -5& 1\\ 0& 7& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

Esta é uma matriz na forma escalonada, e nenhuma linha é linearmente dependente. Você não consegue expressar a terceira linha por meio das duas primeiras, porque, se você tem coeficientes alfa não nulos, sempre sobrará algum número não nulo nas primeiras posições.

O procedimento costuma ser este: primeiro obtemos zeros na primeira coluna (exceto na primeira linha). Depois continuamos transformando a matriz de modo a obter zeros na segunda coluna, depois na terceira e assim por diante, até chegar, por fim, à forma escalonada. Contamos as linhas não nulas e pronto, eis o posto da matriz. Podemos usar estas operações sem alterar o posto da matriz:

• Trocar duas linhas quaisquer de lugar.
• Multiplicar uma linha por qualquer expressão não nula.
• Somar uma linha a outra.
• Todas as operações anteriores também podem ser aplicadas a colunas.

Exemplo

Na nossa matriz anterior, faremos as operações assim: olhamos qual é a relação entre os elementos a₁₁ e a₂₁. Vemos que são iguais, então, para obter zero na posição a₂₁, precisamos somar −1 vez a primeira linha. Somamos −1 vez a primeira linha à segunda linha (ou seja, subtraímos a primeira linha da segunda):

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Agora temos zero onde queríamos. Ainda precisamos obter zero na posição a₃₁. Ali, de novo, há um um, então basta subtrair a primeira linha:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$

Agora já temos zeros na primeira coluna, então partimos com gosto para a segunda coluna. Vemos que os números a₂₂ e a₃₂ são opostos, então basta somar as linhas:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

E obtivemos ali uma linha nula. As operações estão prontas, chegamos à forma escalonada. Agora basta contar as linhas não nulas e temos o posto. Ou seja, posto(A) = 2. Essa matriz tinha posto dois.

Segundo exemplo

Agora vamos tentar calcular o posto de uma matriz um pouco maior:

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 5& 1\\ 1& 3& 5& -7\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

O posto da matriz é o número máximo de linhas linearmente independentes, então podemos nos permitir embaralhar as linhas da matriz como quisermos. Aqui seria conveniente ter bem em cima a linha que começa com um, para facilitar as contas. Podemos, então, sem receio, trocar a primeira linha com a segunda:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 7& 2& 5& 1\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Agora vamos proceder como no exemplo anterior. Na primeira coluna precisamos ter só zeros (é claro, exceto na primeira linha), então somamos à segunda linha −7 vezes a primeira linha, à terceira −4 vezes e à última −2 vezes. A primeira linha permanece inalterada:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& -19& -30& 50\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& 2& 0& 5\end{array}\right)$$

Novamente trocamos linhas; desta vez, devemos colocar a última linha no lugar da segunda, por causa do dois na segunda posição. Trocamos a segunda e a quarta linhas:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& -19& -30& 50\end{array}\right)$$

Mas vemos que, abaixo do dois, temos os números −17 e −19. Nenhum desses números é divisível por dois, o que é meio inconveniente, até desagradável. Por isso, multiplicamos agora a terceira e a quarta linhas por dois:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -34& -38& 56\\ 0& -38& -60& 100\end{array}\right)$$

Agora podemos continuar com as operações, tentando zerar a segunda coluna. À terceira linha somamos 17 vezes a segunda linha e à quarta, 19 vezes:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& -38& 141\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Pronto, agora ficamos com números bem pouco convenientes para a próxima operação, mas daremos um jeito. Dividimos a terceira linha por −38:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

E agora multiplicamos a terceira linha por 60 e somamos à quarta linha:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& 195-\frac{60\cdot 141}{38}\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& -\frac{525}{19}\end{array}\right)$$

Obtivemos um número feio, mas não nulo. Portanto, a matriz tem posto quatro e não contém nenhuma linha linearmente dependente.

Exemplo com parâmetro

Qual é o posto da matriz A em função do parâmetro q?

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)$$

Este é um problema um pouco mais complicado, porque há um parâmetro q. Precisamos descobrir para quais valores de q a matriz tem posto máximo, se é que tem, e para quais valores o posto é menor. Vamos proceder de modo clássico, só que, de vez em quando, em vez de valores concretos, calcularemos com o q abstrato. No primeiro passo, movemos o parâmetro q para um lugar mais agradável, mais precisamente, bem no canto inferior direito. Trocamos, então, a segunda linha com a terceira e, em seguida, a primeira coluna com a última:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ 4& 1& 3\\ q& 5& 8\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)$$

Agora o parâmetro já está em um lugar adequado, onde ele não vai atrapalhar muito. Mas na primeira coluna temos números bem inconvenientes; em compensação, bem no meio temos um um: vamos movê-lo para o canto superior esquerdo, isto é, trocamos a primeira e a segunda linhas e a primeira e a segunda colunas:

$$\left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 17& 8& 1\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Agora ficou uma matriz bonita. Multiplicamos a primeira linha por −8 e somamos à segunda linha:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Multiplicamos a primeira linha por −5 e somamos à terceira linha:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)$$

Ótimo, a primeira coluna está como precisamos. Agora somamos −1 vez a segunda linha à terceira:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& 0& q+11\end{array}\right)$$

E terminamos as operações com a matriz. Vemos que a primeira e a segunda linhas são certamente linearmente independentes. Mas a terceira linha pode ser linearmente dependente. A linha será linearmente dependente se for inteiramente nula, isto é, se escolhermos o parâmetro q de modo que a expressão q + 11 seja igual a zero. Claramente, se q = −11, a linha é nula e, portanto, linearmente dependente.

Então, o veredito final: para q = −11, a matriz tem posto dois; caso contrário, tem posto três.