Matrizes

Uma matriz sobre um corpo P é uma função {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m} → P. Uma matriz costuma ser representada por letras maiúsculas: A = (…). E agora, em bom português.

Conceitos básicos

Uma matriz é, simplesmente, uma espécie de tabela com n colunas e m linhas, embora essa notação de linhas e colunas nem sempre seja a mesma, e é bom ficar atento a isso. Em cada célula da tabela há um número ou outra expressão. A matriz não precisa ser puramente numérica, embora no começo você provavelmente não vá encontrar outros tipos de matrizes. Então, veja como uma matriz pode ser:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 51 \end{array})$

Essa matriz tem duas linhas e três colunas. Os elementos da matriz são representados com índices e, no lugar da letra maiúscula, se usa a letra minúscula: a₁₁ = 0 ou a₂₃ = 51. O primeiro índice indica a linha e o segundo, a coluna.

Tipos especiais de matrizes

As matrizes podem ter propriedades diferentes, e algumas matrizes especiais têm até nomes próprios.

Matriz quadrada é a matriz que tem o mesmo número de linhas e de colunas. Se a matriz não é quadrada, ela é retangular. Exemplo de matriz quadrada:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})$

Matriz nula é a matriz que tem zeros em todas as posições. a_ij = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Matriz identidade é a matriz quadrada que tem uns na diagonal principal e zeros em todos os outros lugares. A diagonal principal é como uma “diagonal” da esquerda para a direita. Ou seja, são os números nas posições em que i = j.

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

Matriz escalonada é a matriz que tem as linhas nulas no final (ou não tem nenhuma linha nula) e cujas linhas não nulas começam, cada uma, com mais zeros que a linha anterior. Todas estas são matrizes escalonadas:

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & π \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), A_{3} = (\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array})$

Matriz transposta da matriz A é a matriz A^T para a qual vale $a_{i j} = a_{j i}^{T}$ , isto é, o elemento que estava na i-ésima linha e na j-ésima coluna ficará, na matriz transposta, na j-ésima linha e na i-ésima coluna. Em resumo, você troca as linhas da matriz pelas colunas.

$\begin{array}{rcl} {(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{ccc} 0 & 8 & 47 \\ 1 & 5 & 154 \\ 5 & 23 & 2 \end{array}) \\ {(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{array}) \end{array}$

Matriz simétrica é a matriz quadrada A que satisfaz a igualdade A = A^T. Os elementos simétricos em relação à diagonal são iguais. Podemos escrever, então, que a_ij = a_ji.

$A = (\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{array})$

Matriz antissimétrica é quase o mesmo que a matriz simétrica, só que os elementos do outro lado têm o sinal oposto: A = −A^T. Por isso, os elementos da diagonal principal devem ser nulos, porque a = −a = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 3 & - 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 4 & - 5 & 0 \end{array})$

Matriz diagonal é a matriz que tem zeros em todos os lugares, exceto na diagonal principal. Mais precisamente, em todos os outros lugares devem estar zeros; o que está na diagonal principal não é especificado.

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Operações básicas com matrizes

Podemos somar matrizes, multiplicá-las por um número e também multiplicar matrizes entre si.

A adição de matrizes é bastante intuitiva. Se as matrizes são da mesma ordem (= mesmo número de colunas e de linhas), a matriz resultante terá, nas mesmas posições, as somas dos números das posições correspondentes nas matrizes anteriores. Ou seja, se somamos as matrizes A + B = C, então vale a_ij + b_ij = c_ij.

$(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) + (\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 3 \\ 10 & 20 & 30 \\ 7 & - 54 & - 12 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 8 \\ 18 & 25 & 53 \\ 54 & 100 & - 10 \end{array})$

A adição de matrizes é, claramente, comutativa e associativa. A + B = B + A e A + (B + C) = (A + B) + C.

A multiplicação de uma matriz por um número também é intuitiva. Você pega o número e multiplica por ele cada elemento da matriz, nada mais. k · A = k · a_ij.

$5 \cdot (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 25 \\ 40 & 25 & 115 \\ 235 & 770 & 10 \end{array})$

Multiplicação de matrizes

A multiplicação de matrizes já é um pouco pior, porque já não é intuitiva como alguém esperaria. Não basta multiplicar os elementos correspondentes. Em primeiro lugar, as matrizes precisam cumprir o critério de que o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. O resto pode ser qualquer um. Agora já podemos definir o produto (n é o número de colunas da primeira matriz):

$(A \cdot B)_{i j} = \sum_{p = 1}^{n} a_{i p} \cdot b_{p j}$

Ficou tudo claro, não é? Agora vou tentar esclarecer também para os menos perspicazes :-). Pegue a primeira linha da primeira matriz e a primeira coluna da segunda matriz. Multiplique o primeiro elemento pelo primeiro elemento, some com o produto do segundo elemento pelo segundo elemento, some e assim por diante. Assim você obtém, na nova matriz C, o elemento c₁₁. O melhor mesmo é um exemplo. Vamos multiplicar estas duas matrizes:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Agora escolhemos a primeira linha da primeira matriz e a primeira colunazinha da segunda matriz:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Para deixar a notação mais clara, vamos chamar a nova matriz de C. Para obter o primeiro elemento dessa matriz, precisamos calcular isto: c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. Lembro que, no índice, em primeiro lugar vem a linha e depois a coluna. Substituindo, obtemos: 1 · 5 + 2 · 7 = 19. O primeiro elemento tem o valor 19:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & ? \\ ? & ? \end{array})$

Obtemos o elemento seguinte, c₁₂, do mesmo modo, só que tomamos a primeira linha e a segunda coluna. Com esse cálculo demorado, sempre obtemos o elemento que elas têm em comum. A primeira linha e a primeira coluna têm em comum o elemento nas coordenadas c₁₁; a primeira linha e a segunda coluna, por sua vez, c₁₂. A figura a seguir mostra isso muito bem:

Produto de matrizes

Agora é só multiplicar rapidamente o restante da matriz:

$\begin{array}{rcl} c_{12} & = & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22. \\ c_{21} & = & a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43. \\ c_{22} & = & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{array}$

Basta escrever esses números na matriz:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array})$

Podemos conferir a correção do resultado, por exemplo, no Excel ou no Calc do OpenOffice, que têm funções para trabalhar com matrizes. Você também pode usar uma calculadora online interativa de multiplicação de matrizes.

Agora algumas informações gerais sobre a multiplicação de matrizes. Antes de tudo, a multiplicação de matrizes não é comutativa. Em geral, não vale A · B = B · A, embora, é claro, esse caso possa ocorrer. Mas a multiplicação de matrizes é associativa. Em relação à adição, ela é até distributiva: A (B + C) = AB + AC. Se multiplicamos duas matrizes a_ix · b_xn, a matriz resultante será de ordem i × n (terá tantas linhas quantas tem a primeira matriz e tantas colunas quantas tem a segunda matriz).

Exemplos

Considere estas três matrizes:

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) .$

Calcule o produto das matrizes A · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 36 & 41 & 43 \\ 90 & 98 & 106 \\ 144 & 155 & 169 \end{array})$

Calcule o produto das matrizes B · A.

Atenção: a multiplicação de matrizes não é comutativa, então certamente não podemos afirmar com segurança que o resultado será igual ao do caso anterior. Precisamos calcular tudo de novo:

$(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 68 & 82 & 96 \\ 86 & 112 & 138 \\ 87 & 105 & 123 \end{array})$

Calcule os produtos das matrizes A · C e C · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 28 & 14 \\ 67 & 50 \\ 106 & 86 \end{array})$

Não podemos calcular o segundo produto, porque o número de colunas da primeira matriz é diferente do número de linhas da segunda.

Operações elementares com matrizes

Para podermos trabalhar com matrizes de modo eficiente, precisamos definir algumas operações elementares. Antes de tudo, podemos multiplicar uma linha/coluna da matriz por um número diferente de zero. A multiplicação tem o mesmo efeito que o produto da matriz por k, mas apenas naquela linha/coluna.

A segunda operação é somar o produto da j-ésima linha por k à i-ésima linha. O mesmo vale para colunas. Parece um pouco assustador, mas na verdade é simples. Vamos mostrar para k = 1. Teremos esta matriz:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Agora somamos à primeira linha a segunda linha. Ou seja, pegamos a segunda linha e somamos os números das posições correspondentes aos números da primeira linha. Nada acontece com os números da segunda linha; muda apenas a primeira linha:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Agora podemos continuar com as operações. Vamos tentar somar o dobro da primeira linha à terceira linha. Tiramos dessa matriz recém-formada a primeira linha, multiplicamos por dois, obtendo a linha (10, 14, 18), e somamos esses números à terceira linha. Novamente, a primeira linha não muda; muda apenas a terceira linha:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 17 & 22 & 27 \end{array})$

Agora somamos de novo à terceira linha a soma da primeira e da segunda linhas. No fundo, isso não é nada de novo, porque, se somamos à terceira linha primeiro a segunda linha e depois a primeira, devemos chegar ao mesmo resultado. A soma da primeira e da segunda linhas será igual a: (5, 7, 9) + (4, 5, 6) = (9, 12, 15). A soma dessa linha com a terceira linha será, então, igual a: (9, 12, 15) + (17, 22, 27) = (26, 34, 42).

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 26 & 34 & 42 \end{array})$

E mais uma operação com colunas (essas costumam ser usadas com menos frequência, porque não são tão claras). Somamos a primeira coluna à segunda coluna:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 4 & 9 & 6 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

E, por último, multiplicamos a segunda linha por dois:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 8 & 18 & 12 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Dependência linear

Agora vamos explicar o que são linhas/colunas dependentes. Uma linha é linearmente dependente se essa linha pode ser expressa como combinação linear das outras linhas da matriz. Em resumo, se você conseguir somar as linhas de diferentes maneiras de modo que, no fim, resulte a linha procurada, essa linha é linearmente dependente. Exemplo:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array})$

Se você tomar o dobro da primeira linha e a segunda linha, obtém a terceira linha. Se você subtrair essa combinação da terceira linha, obtém uma linha nula (uma linha que contém só zeros). Essa linha é dependente. Fazemos, então, as operações assim (multiplicamos a primeira linha por dois, somamos à segunda linha, subtraímos da terceira):

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Se temos uma matriz A com n linhas e A_i representa a i-ésima linha, dizemos que a matriz não contém linha linearmente dependente se:

$α_{1} A_{1} + α_{2} A_{2} + \dots + α_{n} A_{n} = 0$

se e somente se α₁, α₂, …, α_n = 0. O zero no lado direito da equação representa a linha nula. Ou seja, se a única solução dessa equação é a solução nula. Se encontrarmos outra solução, então a matriz contém uma linha linearmente dependente. De modo análogo para colunas. Para a matriz anterior, valeria:

$\begin{array}{rcl} 2 (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}) + 1 (\begin{array}{c} 4 & 5 & 6 \end{array}) - 1 (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = \\ = (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Ou seja, os valores de alfa são α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

O número de linhas ou colunas independentes é dado pelo posto da matriz.

Matrizes inversíveis e singulares

Uma matriz é chamada de inversível (ou não singular) se tem posto máximo (isto é, se não há nela nenhuma linha linearmente dependente) e se é uma matriz quadrada. Uma matriz quadrada é chamada de singular se não é inversível (isto é, se a matriz contém pelo menos uma linha linearmente dependente). Esses dois conceitos são bastante importantes, ou melhor, muitas definições se apoiam neles. Muitas coisas só são definidas se a matriz é inversível.