Sistemas de equações lineares

Um sistema linear de equações é um conjunto de m equações lineares com n incógnitas. Ao resolver o sistema, obtemos valores que podemos substituir nas nossas n incógnitas de modo que todas as equações façam sentido.

Definição de um sistema de equações lineares

Você certamente já encontrou algum sistema simples do tipo

$\begin{array}{ccccc} a_{11} x & + & a_{12} y & = & b_{1} \\ a_{21} x & + & a_{22} y & = & b_{2} \end{array}$

em que a₁₁,…,a₂₂, b₁, b₂ são números reais dados e x e y são as incógnitas. Esse sistema de equações pode ter um número diferente de soluções — nenhuma, uma ou infinitas, como uma equação do 1º grau comum. No caso de um sistema de equações lineares, a questão do número de soluções e de como encontrá-las é mais complicada do que no caso de uma simples equação do 1º grau.

Definição de um sistema de equações lineares:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array}$

em que a₁₁, …, a_mn, b₁, …, b_m são números reais. Esse sistema é chamado, então, de sistema de m equações lineares com n incógnitas x₁, …, x_n e coeficientes a₁₁, …, a_mn. Um exemplo concreto de sistema de equações lineares poderia ser assim:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & + & - 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & - 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Mas, se algum a_ij é negativo, é costume escrever nesta forma:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & - & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Mas continua valendo que a₁₂ = −2 e a₂₄ = −10.

Notação matricial

Podemos converter esse sistema para a forma matricial. Definimos três matrizes no total: uma para os coeficientes, uma para o lado direito das equações e uma para as próprias incógnitas. As matrizes ficam assim:

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}), x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$

A matriz A contém os coeficientes das equações originais e a chamamos de “matriz dos coeficientes”, a matriz b contém os lados direitos das equações e a matriz x contém as incógnitas. Então podemos escrever o sistema de equações inteiro como a equação

$A x = b$

Essa equação faz sentido, porque no lado esquerdo temos o produto de duas matrizes e no lado direito temos uma matriz, e as ordens delas são compatíveis. Podemos tentar multiplicar o lado esquerdo. Multiplicamos uma matriz de ordem m × n por uma matriz de ordem n × 1, então a matriz resultante será de ordem m × 1, terá m linhas e uma coluna. Por enquanto, está tudo certo.

Agora aplicamos o algoritmo clássico de multiplicação de matrizes, começando com a primeira linha da matriz A e com a primeira coluna da matriz x (não há outra coluna). Obtemos:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n}$

Com essa soma, obtivemos o primeiro elemento da nova matriz, ou seja, o valor b₁. Substituindo tudo na equação, temos:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}$

Obtivemos exatamente a primeira equação do nosso sistema de equações. Do mesmo modo continuaríamos com as outras linhas. Definimos ainda a matriz ampliada do sistema, que é a matriz dos coeficientes à qual acrescentamos a matriz b assim:

$B = (A ⋮ b) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix})$

Em seguida, vai nos interessar o posto dessa matriz ampliada do sistema. Representamos o posto da matriz original (não ampliada) dos coeficientes por posto(A), e o da ampliada, por $posto (A ⋮ b)$ . Qual é a relação entre esses postos? Se acrescentamos à matriz A a coluna b, podem ocorrer duas situações: se essa nova coluna é uma combinação linear das colunas da matriz A, o posto não muda. Se não era uma combinação linear, o posto será uma unidade maior.

Teorema de Rouché-Capelli

O posto da matriz ampliada será importante para nós, porque vale um teorema importante, o teorema de Rouché-Capelli: O sistema de equações Ax = b tem solução se e somente se o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz ampliada do sistema: $posto (A) = posto (A ⋮ b)$ .

Vamos tentar mostrar que esse teorema vale pelo menos em um sentido — se x = β é solução da equação Ax = b, então $posto (A) = posto (A ⋮ b)$ . Se esses postos são iguais, deve valer que a coluna b é uma combinação linear das colunas da matriz A. Vamos detalhar. A matriz β tem a forma:

$β = (\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix})$

E afirmamos que, se substituirmos x₁ por β₁ etc., todas as equações do sistema de equações serão verdadeiras:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} β_{1} & + & a_{12} β_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} β_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} β_{1} & + & a_{22} β_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} β_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} & + & a_{m 2} β_{2} & + & \dots & + & a_{m n} β_{n} & = & b_{m} \end{array}$

Agora reescrevemos um pouco as equações. Se olharmos para a primeira colunazinha, veremos que ali sempre temos os valores a₁₁, a₂₁, …, a_m1, que multiplicamos pelo mesmo valor β₁. Se isolarmos a colunazinha em uma matriz separada, podemos colocar em evidência o valor β₁ diante da matriz, obtendo:

$(\begin{matrix} a_{11} β_{1} \\ a_{21} β_{1} \\ ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} \end{matrix}) = β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix})$

Agora podemos reescrever assim o sistema inteiro:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Para que essa equação valha, a matriz do lado direito deve ser uma combinação linear das matrizes-coluna do lado esquerdo, e os valores β₁, …, β_n devem ser os coeficientes dela.

Com isso, demonstramos que, para que a matriz β seja solução do sistema de equações, o lado direito do sistema, a matriz b, deve ser uma combinação linear das colunas da matriz dos coeficientes. E, se a coluna da matriz b é uma combinação linear das colunas da matriz A, então a matriz A deve ter o mesmo posto que a matriz $(A ⋮ b)$ .

Ao mesmo tempo, vale que, se $posto (A) = posto (A ⋮ b) = k$ e k é igual ao número de incógnitas, ou seja, k = n, o sistema tem exatamente uma solução. Se vale k < n, o sistema tem infinitas soluções e, para escrevê-las, precisaremos de n − k parâmetros.

Operações elementares com as linhas

Além disso, pela equação anterior se vê que, se realizarmos na matriz $(A ⋮ b)$ operações elementares com as linhas, a solução do sistema de equações não muda. Se somássemos à segunda linha a primeira linha, obteríamos a equação:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} + a_{11} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} + a_{12} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} + a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} + b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Se detalharmos a segunda linha, obtemos:

$β_{1} (a_{21} + a_{11}) + β_{2} (a_{22} + a_{12}) + \dots + β_{n} (a_{2 n} + a_{1 n}) = b_{1} + b_{2}$

Eliminamos os parênteses:

$β_{1} a_{21} + β_{1} a_{11} + β_{2} a_{22} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{2 n} + β_{n} a_{1 n} = b_{1} + b_{2}$

Agora só reorganizamos um pouco:

$(β_{1} a_{11} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{1 n}) + (β_{1} a_{21} + β_{2} a_{22} + \dots + β_{n} a_{2 n}) = b_{1} + b_{2}$

No primeiro parêntese temos, na verdade, a primeira linha e, no segundo parêntese, a segunda linha original. Sabemos que a primeira linha é igual ao valor b₁ e a segunda linha é igual ao valor b₂. Sabemos isso pelas equações originais. Então, no lugar do primeiro parêntese podemos escrever b₁ e, no lugar do segundo, b₂:

$b_{1} + b_{2} = b_{1} + b_{2} .$

Do mesmo modo, podemos multiplicar uma linha inteira por uma constante c ≠ 0 sem alterar a validade do sistema de equações. Atenção, porém: não podemos realizar operações com colunas.

Sistema com uma única solução

Com um exemplo, vamos mostrar como resolver um sistema que tem exatamente uma solução. Considere este sistema de equações:

$\begin{array}{ccccccc} 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & 7 x_{3} & = & 47 \\ 3 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & x_{3} & = & 50 \\ 3 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 27 \end{array}$

A matriz A ficará assim:

$A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix})$

Agora calculamos o posto dessa matriz:

$(\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 6 & 16 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 7 & - 19 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 21 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 0 & 78 \end{matrix})$

Vemos que posto(A) = 3. Disso decorre também que $posto (A ⋮ b) = 3$ , porque uma matriz de ordem 3 × 4 pode ter posto máximo três. O sistema tem três incógnitas, então o sistema inteiro tem exatamente uma solução. Como a encontramos?

Eliminação de Gauss

A eliminação de Gauss consiste em transformar a matriz ampliada do sistema em forma escalonada. Ao transformarmos a matriz em forma escalonada, conseguiremos descobrir o valor de uma incógnita. Depois de encontrarmos o valor de uma incógnita, podemos começar a substituir esse valor nas outras equações.

A matriz $(A ⋮ b)$ tem a forma:

$(A ⋮ b) = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{matrix})$

Vamos transformá-la em forma escalonada. Faremos as mesmas operações do passo anterior, só que desta vez as aplicaremos também à quarta coluna:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 6 & 16 & 2 & 100 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 7 & - 19 & - 41 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 21 & 21 & 189 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 0 & 78 & 312 \end{array}) \end{array}$

Como realizamos operações elementares com as linhas, essa matriz descreve um sistema de equações equivalente — um sistema que tem o mesmo conjunto solução. Vamos reescrever o sistema da notação matricial para a usual, usando os coeficientes da nossa última matriz:

$\begin{array}{ccccccc} 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & + & 21 x_{3} & = & 141 \\ 21 x_{2} & - & 57 x_{3} & = & - 123 \\ 78 x_{3} & = & 312 \end{array}$

Agora partimos da última equação. Ela nos diz que 78x₃ = 312. Que valor deve ter x₃? É uma simples equação do 1º grau, então

$\begin{array}{rcl} 78 x_{3} & = & 312 \\ x_{3} & = & \frac{312}{78} \\ x_{3} & = & 4 \end{array}$

Temos o valor da primeira incógnita, x₃. Substituímos esse valor na segunda equação. Obtemos a equação:

$\begin{array}{rcl} 21 x_{2} - 57 x_{3} & = & - 123 \\ 21 x_{2} - 57 \cdot 4 & = & - 123 \\ 21 x_{2} & = & - 123 + 228 \\ 21 x_{2} & = & 105 \\ x_{2} & = & \frac{105}{21} \\ x_{2} & = & 5 \end{array}$

E, por fim, substituímos os dois valores calculados na primeira equação:

$\begin{array}{rcl} 6 x_{1} + 9 x_{2} + 21 x_{3} & = & 141 \\ 6 x_{1} + 9 \cdot 5 + 21 \cdot 4 & = & 141 \\ 6 x_{1} + 45 + 84 & = & 141 \\ 6 x_{1} & = & 12 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$

O valor da incógnita x₁ é igual a dois. Neste momento, temos a solução completa. Podemos escrever que x = (x₁, x₂, x₃) = (2, 5, 4). Como se vê, a eliminação de Gauss é um método simples, mas eficaz, para resolver um sistema de equações lineares.

Infinitas soluções

Se $posto (A) = posto (A ⋮ b) = k$ e k é menor que o número de incógnitas, k < n, então o sistema tem infinitas soluções. Vamos tomar um exemplo simples:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 12 x_{1} & + & 3 x_{2} & = & 15 \end{array}$

Vemos que a segunda equação é igual ao triplo da primeira equação. Se multiplicarmos a primeira equação por menos três e somarmos à segunda linha, obtemos:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & = & 0 \end{array}$

Neste momento, o número de incógnitas é igual a dois, n = 2, o posto da matriz dos coeficientes é igual a um, posto(A) = 1, e o posto da matriz ampliada também é igual a um, $posto (A ⋮ b) = 1$ . Vale que k < n, então o sistema tem infinitas soluções. Como encontramos essas soluções?

Olhamos para as equações. A segunda equação é satisfeita para todos os x₁, x₂, então só nos interessa a primeira equação. Na verdade, todos os pares x₁, x₂ que satisfazem a primeira equação formarão o conjunto de todas as soluções do sistema de equações dado. Então calculamos a solução da equação 4x₁ + x₂ = 5. Transformamos a equação na forma x₂ = 5 − 4x₁.

Em seguida, vamos nos ajudar com um parâmetro. Escolhemos um parâmetro t. Agora vamos tentar expressar o par x₁, x₂ por meio do parâmetro t, de modo que possamos escrever que, por exemplo, todos os pares da forma (t, t + 2) são solução do sistema. Ou seja, pares como (1, 3) ou (14, 16). O objetivo é expressar o valor de uma incógnita por meio de outra incógnita, de modo que saibamos que, quando o valor de x₁ for tal e tal, o valor de x₂ será, por exemplo, três vezes maior. Como ponto de partida, escolhemos x₁.

Impomos, então, a igualdade t = x₁. Se a incógnita x₁ tiver o valor t, que valor terá a incógnita x₂? Vemos isso pela equação anterior: terá o valor x₂ = 5 − 4x₁. Ou seja, se x₁ = t, então x₂ = 5 − 4t. Podemos escrever, então, que todos os pares da forma (t, 5 − 4t) são solução do sistema de equações.

Podemos conferir. Se substituirmos t por um, temos: x₁ = 1 e x₂ = 5 − 4 · 1 = 1. Substituímos esses valores na equação: 4 · 1 + 1 = 5, a equação confere.

Se substituirmos t por cinco, temos: x₁ = 5, x₂ = 5 − 4 · 5 = −15. Substituindo na equação, temos: 4 · 5 − 15 = 5. Confere.

Solução geral e solução particular

A solução de um sistema de equações escrita por meio de parâmetros é chamada de solução geral. Uma solução concreta, isto é, quando substituímos os parâmetros por números concretos, é chamada de solução particular.

Então, do exemplo anterior: (x₁, x₂) = (t, 5 − 4t) é a solução geral do sistema de equações, e (1, 1) e (5, −15) são soluções particulares.

Se temos a matriz dos coeficientes A e a matriz ampliada do sistema $(A ⋮ b)$ e os postos delas são iguais, $posto (A) = posto (A ⋮ b) = k$ , então, para expressar a solução geral, precisamos de n − k parâmetros. Repare que, se n = k, precisamos de zero parâmetros. Esse é o caso em que o sistema tem exatamente uma solução — nenhum parâmetro é necessário.

Exemplo

Resolva o seguinte sistema de equações lineares:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & - & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Primeiro calculamos o posto das matrizes A e $(A ⋮ b)$ . Transformamos a matriz ampliada em forma escalonada, e dela descobrimos o posto das duas matrizes. Vamos às operações. (Multiplicamos a primeira linha por dois, depois somamos a primeira e a segunda linhas e subtraímos esse resultado da terceira linha. Em seguida, subtraímos da segunda linha a primeira linha e, por fim, dividimos a primeira linha de volta por dois.)

$\begin{array}{rcl} (A ⋮ b) = (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Dessa última matriz já vemos que $posto (A) = posto (A ⋮ b) = k = 2$ . O número de incógnitas é n = 4, então precisaremos de n − k = 2 parâmetros. Vamos escrever as equações de acordo com a última matriz:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ - x_{1} & - & 6 x_{3} & = & 0 \end{array}$

Da segunda equação obtemos

$\begin{array}{rcl} - x_{1} - 6 x_{3} & = & 0 \\ - x_{1} & = & 6 x_{3} \\ x_{1} & = & - 6 x_{3} \end{array}$

Escolhemos o primeiro parâmetro, t = x₃. Então podemos escrever que x₁ = −6t. Podemos substituir isso na primeira equação:

$\begin{array}{rcl} 3 (- 6 t) - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 18 t - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 14 t - 2 x_{2} + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 2 x_{2} & = & 1 + 14 t - 5 x_{4} \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} x_{4} \end{array}$

Entra em jogo o segundo parâmetro, s = x₄. Então podemos escrever que

$x_{2} = - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s$

Com isso obtemos a solução geral do sistema:

$(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (- 6 t, - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s, t, s)$

Podemos experimentar algumas soluções particulares. Por exemplo, s = t = 0. Então obtemos: $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, - \frac{1}{2}, 0, 0)$ . Substituindo nas equações originais:

obtemos as equações:

$\begin{array}{ccccccccc} 0 & - & 2 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 1 \\ 0 & - & 4 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 2 \\ 0 & - & 8 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 4 \end{array}$

Depois de eliminar os elementos nulos e de multiplicar as frações, obtemos:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Vamos tentar outra solução particular: s = 2, t = 1. Então obtemos:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - 6 \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 + 5 = - \frac{5}{2} \\ x_{3} & = & 1 \\ x_{4} & = & 2 \end{array}$

Substituímos nas equações:

$\begin{array}{ccccccccc} - 18 & - & 2 (- \frac{5}{2}) & + & 4 & + & 10 & = & 1 \\ - 30 & - & 4 (- \frac{5}{2}) & + & 2 & + & 20 & = & 2 \\ - 66 & - & 8 (- \frac{5}{2}) & + & 10 & + & 40 & = & 4 \end{array}$

Simplificamos:

$\begin{array}{ccccccccc} - 4 & + & 5 & = & 1 \\ - 8 & + & 10 & = & 2 \\ - 16 & + & 20 & = & 4 \end{array}$

E, por fim, obtemos:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Parece que a solução geral obtida está correta.

Capítulos: Sistemas de equações lineares, Regra de Cramer, Sistemas lineares homogêneos

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