Раціональні числа
Раціональні числа — це всі числа, які можна записати як частку двох цілих чисел, тобто у вигляді дробу.
Означення
Отже, раціональні числа — це всі числа, які можна записати у вигляді
$$\frac{a}{b}\qquad a,b\in\mathbb{Z}, b\ne0.$$
Умова, що обидва числа цілі, має очевидний зміст: якби ти вибрав число, яке не є раціональним, наприклад π, і склав би дріб так:
$$\frac{\pi}{1},$$
то отримав би назад число π, яке раціональним не є. Тому і знаменник, і чисельник мають бути цілими числами. А оскільки на нуль ділити не можна, знаменник має бути відмінним від нуля.
Можна також сказати, що раціональні числа — це числа зі скінченним десятковим розкладом і числа з нескінченним десятковим розкладом, у якому якась частина періодично повторюється. Отже, приклади раціональних чисел, спершу у вигляді дробу:
$$\frac13,\qquad -\frac59,\qquad \frac{13}{29},\qquad \frac{4}{1}, \ldots$$
а далі числа у вигляді десяткового дробу: 0{,}1; −5; 14{,}5; −12{,}93; 0{,}33333…=0{,}(3)
Запис періоду
У попередньому прикладі ми мали число 0{,}3333… Це десятковий запис дробу 1/3, і це число з нескінченним десятковим розкладом. Попри це воно раціональне, бо розклад періодичний. Періодичний розклад означає, що від певного місця в числі постійно повторюється та сама послідовність цифр. У нашому випадку нескінченно повторювалася трійка. Але нескінченно може повторюватися, наприклад, і послідовність цифр 12345, і це все одно буде число з періодом, раціональне число.
Отже, кожне число зі скінченним десятковим розкладом раціональне. Кожне число з нескінченним десятковим розкладом, у якому якась частина періодично повторюється, теж раціональне. Число з нескінченним десятковим розкладом, у якому жодна частина періодично не повторюється, — ірраціональне.
Період позначають або трьома крапками, або, у школі найчастіше, круглими дужками, в які беруть цифри, що періодично повторюються. Періодично може повторюватися одна цифра, а можуть і кілька цифр. Період може починатися одразу на початку дробової частини або будь-коли пізніше. Усе це періодичні дроби:
$$\begin{array}{rclcl} 7/3&=&2{,}33333\ldots&=&2{,}(3)\\ 16/11&=&1{,}454545\ldots&=&1{,}(45)\\ 11/6&=&1{,}833333\ldots&=&1{,}8(3) \end{array}$$
Позначення та зміст
Раціональні числа позначають літерою Q з подвоєними дугами: ℚ. Це від англійського «quotient», українською «частка», що означає результат ділення.
Раціональні числа використовують для визначення частини від цілого. Типові приклади — «половина» або «десята частина». Це назви частин цілого, які в раціональних числах можна виразити як частки 1/2 і 1/10. У таких випадках знаменник позначає ціле, а чисельник — частину від цілого. Якщо чисельник дорівнює знаменнику, це означає, що ми маємо ціле. Такі кількості потім зазвичай переводять у відсотки.
Властивості
- Раціональні числа утворюють нескінченну зліченну множину.
- Раціональні числа замкнені відносно операцій додавання, віднімання, множення та ділення. Це означає, що коли ми поділимо два раціональні числа, то знову отримаємо раціональне число. Це відмінність від цілих чисел, які відносно ділення замкнені не були.
- Раціональні числа містять усі цілі числа. Якщо всі раціональні числа можна виразити дробом a/b, то достатньо взяти b = 1, і після ділення a/1 = a ми завжди отримаємо значення чисельника.
- Якщо взяти два раціональні числа a і b, для яких a < b, то завжди знайдемо ще одне раціональне число q, для якого a < q < b. Інакше кажучи, між будь-якими двома раціональними числами завжди можна знайти ще якесь раціональне число. Справедлива й сильніша версія: між будь-якими двома раціональними числами існує нескінченно багато інших раціональних чисел.
- Наслідком попереднього твердження є те, що не існує найменшого додатного (чи найбільшого від'ємного) раціонального числа. Для цього можна скористатися доведенням від супротивного. Нехай m — найменше додатне раціональне число. Тоді ми не мали б змоги знайти менше додатне раціональне число. Проте за попереднім твердженням 0 < m, а отже, існує раціональне число s, для якого 0 < s < m. Ми знайшли число s, яке більше за нуль (додатне) і менше за число m. Це суперечить тому, що m — найменше додатне раціональне число.
Операції з раціональними числами
Усі звичайні та основні операції описано в статті про дроби.
Перетворення періодичного дробу на звичайний
Оскільки періодичний дріб водночас є раціональним числом, його можна перетворити на звичайний дріб. Покажемо, як це зробити. Спочатку маємо періодичний дріб a = 0{,}333… Запишемо
$$a=0{,}(3)$$
Тепер виконаємо звичайні рівносильні перетворення рівнянь і помножимо все рівняння на десять:
$$10a=3{,}(3)$$
У правій частині трійка перемістилася в розряд одиниць, а після коми все ще нескінченно багато трійок. Тепер від рівняння віднімемо a, тобто віднімемо 0{,}333…, і так позбудемося нескінченного розкладу.
$$9a=3$$
Цей крок, можливо, був трохи складним, тож розпишу його. Ми виконали таку операцію:
$$\begin{array}{ccccccc} &3&,&3&3&3&\ldots\\ -&0&,&3&3&3&\ldots\\ =&3&,&0&0&0&\ldots \end{array}$$
Верхнє рівняння 9a = 3 просто ділимо на дев'ять і отримуємо результат:
$$a=\frac{3}{9}=\frac13$$
Спробуймо ще один приклад:
$$a=1{,}454545\ldots=1{,}(45)$$
Розв'язання буде трохи іншим. У попередньому прикладі період мав довжину один. Точніше, період міг бути якої завгодно довжини, бо повторювалися б ті самі числа, але нам було зручно, щоб він мав довжину один. Тепер маємо період довжини два. Знову ж таки, можна було б узяти період довжини шість, але це нам не підходить. Щоб відняти справді весь період, цього разу треба множити на сто:
$$100a=145{,}(45)$$
Віднімемо одне a:
$$99a=144$$
І поділимо на 99:
$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$
Коли на калькуляторі спробуєш поділити ці числа, вийде саме 1{,}454545… Проте більшість калькуляторів округлюють, тому результат може виглядати трохи інакше.
Цікавинка з 0,9999…
Ще для цікавості спробуймо перетворити на звичайний дріб періодичний дріб
$$a=0{,}(9)$$
Помножимо на десять:
$$10a=9{,}(9)$$
Віднімемо a:
$$9a=9$$
Поділимо на дев'ять:
$$a=1$$
Бачимо, що вийшла одиниця, тобто число 0{,}999… дорівнює числу 1.