Композиція функцій

Одна функція мало на що здатна. Тому функції можна складати.

Мотивація

Розгляньмо дві функції. Наприклад, функцію, яка обчислює кількість проїханих кілометрів на один літр бензину. Нехай наш автомобіль проїжджає на одному літрі бензину 10 кілометрів. Цю функцію позначимо f і означимо як f(x) = 10x, де параметр x означає, скільки літрів бензину ми маємо. Отже, якщо в баку шість літрів бензину, автомобіль ще проїде f(6) = 10 · 6 = 60 кілометрів.

Друга функція може обчислювати, скільки літрів бензину ми купимо за задану кількість гривень. Нехай літр бензину коштує 30 гривень. Тоді функція, позначимо її g, виглядала б так: g(x) = x : 30, де x означає, за скільки гривень ми хочемо купити бензин. Якщо маємо 150 гривень, то купимо g(150) = 150 : 30 = 5 літрів бензину.

Тепер ми могли б запитати: скільки кілометрів ми ще проїдемо, якщо купимо бензин за 750 гривень?

Ми вже маємо функції, які щоразу обчислюють лише окрему частину — кількість проїханих кілометрів залежно від літрів і кількість куплених літрів бензину залежно від грошей. Тепер нам потрібно скласти обидві функції.

Як це розв'язати

Можна було б зробити так: спершу обчислити, скільки літрів бензину ми купимо, а потім — скільки проїдемо кілометрів. Спробуємо. За 750 гривень ми купили б g(750) = 750 : 30 = 25 літрів бензину. А на 25 літрах бензину ми проїхали б f(25) = 10 · 25 = 250 кілометрів.

Але можна розв'язати й інакше, склавши функції. Можна означити нову функцію h, яка бере на вході кількість грошей, а на виході повертає кількість проїханих кілометрів. Функцію h означимо через функції f і g так:

$$ h(x) = f(g(x)) $$

Так означена функція h насправді робить те, що ми обчислили в першому абзаці. Вона каже нам: коли ми отримуємо значення x, тобто кількість грошей, то спершу маємо обчислити значення g(x), тобто кількість літрів, які ми за них купимо. Це отримане значення g(x), у нашому випадку g(750) = 25, ми ще підставляємо у функцію f, тобто обчислюємо f(25) = 250.

Можна отримати й прямий запис функції h. Беремо функцію f і всі входження параметра x замінюємо функцією g. Функція f виглядає так: f(x) = 10x, а замість параметра x ми підставляємо функцію x : 30. Так отримуємо функцію h:

$$ h(x) = 10\cdot\left(\frac{x}{30}\right) $$

Спростимо (скоротимо):

$$ h(x) = \frac{x}{3} $$

Тепер ми склали функції f і g у нову функцію h, яка обчислює, скільки кілометрів ми проїдемо на бензині вартістю x гривень. Можемо це перевірити, підставивши в функцію ті самі добрі старі 750 гривень:

$$ h(750) = \frac{750}{3} = 250. $$

Результат збігається з нашим попереднім обчисленням.

Композиція складніших функцій

Нехай маємо функції f і g, означені так:

$$\begin{eqnarray} f(x) &=& \sin(x) \cdot x^2 - 4\\ g(x) &=& \frac{x+1}{x-1} + 5 \end{eqnarray}$$

Спробуймо тепер скласти функції так: f(g(x)). Беремо функцію f і замість усіх входжень параметра x підставляємо, краще в дужках, функцію g:

$$ f(g(x)) = \sin\left(\frac{x+1}{x-1} + 5\right) \cdot \left(\frac{x+1}{x-1} + 5\right)^2 - 4 $$

Якби ми склали функції навпаки, отримали б:

$$ g(f(x))=\frac{(\sin(x) \cdot x^2 - 4)+1}{(\sin(x) \cdot x^2 - 4)-1} + 5 $$

Для композиції функцій використовують символ кружечка: $f \circ g$. Проблема в тому, що цей запис іноді означає композицію в напрямку f(g(x)), а іноді, навпаки, g(f(x)). Символіка тут трохи неоднозначна, тому завжди краще дивитися, що саме мається на увазі.