Обернена функція

Обернена функція — це функція, яка ставить елементам у відповідність значення «навпаки» порівняно з початковою функцією.

Вступний приклад

Для початку візьмімо просту лінійну функцію f(x) = 2x. Які значення вона набуває? Наприклад, для перших кількох натуральних чисел значення функції будуть такими:

$$\begin{eqnarray} f(1)&=&2\\ f(2)&=&4\\ f(3)&=&6\\ f(4)&=&8\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Бачимо, що коли ми підставляємо у функцію двійку, вона повертає четвірку. Що мала б робити обернена функція до цієї? Вона мала б працювати навпаки: ми підставляємо в неї четвірку, а вона повертає двійку. Обернену функцію позначаємо f⁻¹, і вона мала б відображати елементи навпаки, тобто так:

$$\begin{eqnarray} f^{-1}(2)&=&1\\ f^{-1}(4)&=&2\\ f^{-1}(6)&=&3\\ f^{-1}(8)&=&4\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Як цього досягти? Якщо початкова функція повертала подвоєне значення аргументу x, то обернена функція має, навпаки, повертати його половину. Якщо підставимо трійку, після подвоєння маємо шістку. Якщо візьмемо половину від шістки, повернемося до трійки. Тоді обернена функція матиме такий запис:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Означення

Тепер означимо обернену функцію як слід. Нехай маємо функцію f з областю визначення D(f) та областю значень E(f). З означення функції випливає, що для кожного елемента x з області визначення D(f) існує певний елемент y з області значень E(f), для якого f(x) = y.

Обернена функція f⁻¹ — це функція, для якої виконується:

$$f(x)=y\Leftrightarrow f^{-1}(y)=x.$$

Що нам каже це означення? Якщо ми викличемо функцію f з аргументом x і отримаємо значення y, то оберненій функції можна передати аргумент y, і вона мусить повернути значення x.

Покажімо все ще й на рисунках. Перший рисунок зображує початкову функцію f, яка повертає подвоєне значення. Ліве коло — це область визначення, множина, з якої ми вибираємо значення x. Праве коло — це область значень, множина значень, яких може набувати функція. Стрілки показують, який вхід переходить у який вихід. Стрілок там, звісно, мало б бути нескінченно багато, тут показано лише невелику частину функції.

Далі рисунок оберненої функції. Обернена функція виглядає дуже схоже: насамперед змінюється напрямок стрілок, а також область визначення й область значень міняються місцями.

Бачимо, що початкова функція відображала з D(f) в E(f), а обернена відображає навпаки, з E(f) в D(f). Отже, область визначення початкової функції дорівнює області значень оберненої, а область значень початкової функції дорівнює області визначення оберненої.

Існування оберненої функції

Насамперед зазначимо, що обернена функція існує не завжди, і це пов'язано з основною властивістю функції. Якщо ми візьмемо два однакові елементи області визначення a = b, то функція мусить повернути завжди той самий результат f(a) = f(b). Повернімося до функції, що повертала подвоєне значення: завжди має виконуватися f(5) = 10. Не може бути, щоб функція повернула, скажімо, тринадцять: f(5) = 13 — за означенням функції так бути не може.

А тепер проаналізуймо ситуацію, коли маємо, наприклад, квадратичну функцію f(x) = x². Що поверне функція, якщо викликати її з аргументами x₁ = 2 і x₂ = −2? В обох випадках вона поверне значення 4:

$$\begin{eqnarray} f(2)&=&4\\ f(-2)&=&4 \end{eqnarray}$$

Поки що все гаразд. Але як виглядала б обернена функція? Якби ми побудували обернену функцію до цієї квадратичної, мало б одночасно виконуватися:

$$\begin{eqnarray} f^{-1}(4)&=&2\\ f^{-1}(4)&=&-2 \end{eqnarray}$$

А це, як ми знаємо, неможливо. Функція не може повертати різні результати для однакових аргументів. Коли ж обернена функція існує? Тоді, коли жодним двом різним аргументам функція не ставить у відповідність те саме значення. А це якраз означення оборотної функції:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Обернена функція до функції f існує тоді й лише тоді, коли функція f оборотна. Покажімо ще на рисунках, чому обернена функція до функції, що не є оборотною, справді не може існувати. Зобразимо стрілками частину квадратичної функції f(x) = x²:

Якби ми спробували змінити напрямок стрілок, то отримали б такий рисунок:

Маємо рисунок, на якому з однієї точки виходять дві стрілки до різних чисел другої множини. Це не відповідає означенню функції, тому обернена функція існувати не може.

Графічний зміст

Якщо взяти графік функції, то коли обернена функція існує, ці графіки будуть симетричні відносно прямої y = x (бісектриси першого та третього координатних кутів) — тобто відносно графіка функції f(x) = x.

Знаходження оберненої функції

Якщо задано функцію і треба знайти обернену до неї, діємо так: перетворюємо функцію на рівняння і виражаємо з нього x. Отже, першу згадану лінійну функцію f(x) = 2x перетворимо так:

$$y=2x$$

З цього починаємо. Мета — виразити x через y. Тут це можна зробити швидко: просто поділимо рівняння на два

$$\frac{y}{2}=x$$

і маємо вираз для x. Отже, обернена функція буде $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Ще один приклад:

$$f(x)=4x-7$$

Перейдемо до рівняння й виразимо x:

$$\begin{eqnarray} y&=&4x-7\quad/+7\\ y+7&=&4x\quad/:4\\ \frac{y+7}{4}&=&x \end{eqnarray}$$

Обернена функція матиме такий вигляд:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Можемо це перевірити. Обчислимо значення початкової функції в точці три:

$$f(3)=4\cdot3-7=12-7=5$$

Якщо ми знайшли обернену функцію правильно, то після виклику зі значенням 5 маємо отримати назад трійку:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Ще один приклад:

$$f(x)=x^2+1$$

Виразимо x:

$$\begin{eqnarray} y&=&x^2+1\quad/-1\\ y-1&=&x^2\quad /\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}&=&\sqrt{x^2} \end{eqnarray}$$

Тепер ми потрапили в неприємну ситуацію. З x² не можна просто добути корінь і отримати x, треба додати модуль, тобто:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Підставимо в попередню рівність:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Але так ми отримуємо два розв'язки, один додатний, а другий від'ємний:

$$\begin{eqnarray} x_1&=&\sqrt{y-1}\\ x_2&=&-\sqrt{y-1} \end{eqnarray}$$

Отже, для одного y маємо два різні x, окрім випадку, коли корінь дорівнює нулю. Проте обернену функцію можна знайти на певному проміжку. Якщо подивитися на графік функції:

побачимо, що обернена функція могла б існувати на проміжку [0; +∞). Тоді можемо взяти лише вираз для x₁. Отримаємо функцію, графік якої видно на рисунку:

Отже, можемо сказати, що на цьому проміжку існує обернена функція

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$