Показникова функція

Показникова функція — це така функція, в якій змінна стоїть у показнику степеня.

Означення

Показникова функція f має вигляд

$$f(x)=a^x,\quad a\in\mathbb{R},\quad a>0,\quad a\ne1$$

Символ a — це довільне число, а не якийсь складніший вираз; його називають основою. Вираз x називають показником. Основою може бути, наприклад, ціле число 3, раціональне число $\frac12$ або стала π.

Навіщо накладати умови на основу a? Якби a дорівнювало одиниці, ми б отримали сталу функцію, бо «одиниця в будь-якому степені» завжди дорівнює одиниці. Справді, 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. А оскільки сталу функцію до показникових не зараховують, a мусить бути відмінним від одиниці, тобто a≠1. З тієї самої причини має виконуватися a≠0.

А чому має бути a>0? Тому що степінь сам по собі означений лише для додатних основ. Наприклад, якби ми взяли за x одну другу, то обчислення $a^{\frac12}$ — це те саме, що обчислення кореня з числа a. А добувати корінь можна лише з невід'ємного числа.

Якщо наведені умови виконано, показникова функція f(x) = a^x має область визначення — дійсні числа.

Квадратична та показникова функції

Показникову функцію легко сплутати з квадратичною функцією. У квадратичній функції змінна стоїть в основі, а в показнику — число, тоді як у показниковій функції в основі стоїть число, а в показнику — змінна. Отже, квадратичні функції — це, наприклад, x², x² + 4 або x² − x + 1. Показникові функції — це 2^x, 4^x або π^x.

Важливі показникові функції

Важлива показникова функція — це «натуральна показникова функція». Її основа — стала e, тобто число Ейлера. Число Ейлера — ірраціональне число, тобто число з нескінченним неперіодичним десятковим розкладом; точно обчислити його не можна. Його наближене значення: $e\approx 2{,}718,281,828\ldots$ Цю функцію часто позначають $\exp$.

Ще одна важлива показникова функція — «десяткова показникова функція», основа якої дорівнює десяти: a = 10.

Вигляд функції залежно від значення a

Функція має два основні вигляди, які залежать від значення основи. Розрізняємо два проміжки: (0; 1) і (1; +∞). Якщо a належить першому проміжку, тобто менше за одиницю, функція спадна. Якщо другому — зростаюча. Це, звісно, логічно. Для прикладу візьмімо $a=\frac12$, тобто функцію $f(x)=\frac12^x$. Що станеться, якщо підставляти за x по черзі двійку, трійку й четвірку? Значення функції поступово зменшуватиметься, адже отримаємо: $f(2)=\frac12^2 = \frac12 \cdot \frac12=\frac14$, далі $f(3)=\frac12^3= \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12$, що дорівнює $\frac18$. Для f(4) отримаємо половину від однієї восьмої, тобто $\frac{1}{16}$. Числа стають дедалі меншими, бо основа менша за одиницю. Якщо множити числа, менші за одиницю, завжди виходить менше число.

І навпаки, якщо a>1, то в результаті множення виходить більше число. Для показникової функції f(x) = 3^x при значеннях два, три, чотири маємо: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. Для трійки: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Далі f(4) = 81. Отже, функція зростаюча. Зверни увагу: яким би іншим числом, більшим за одиницю, не була основа, функція однаково буде зростаючою.

Тому ми й розрізняємо два типи графіків залежно від значення основи a.

Графіки показникових функцій

З попереднього розділу ми знаємо, що графік має два основні вигляди залежно від значення основи a. Спочатку покажемо графік для значень a із проміжку (0; 1).

Бачимо, що функція спадна й проходить через точку (0; 1). Це не випадковість — із властивостей степенів ми знаємо, що будь-яке число в нульовому степені дорівнює одиниці. Тобто $\frac12^0=1, 5^0=1, 33^0=1$ тощо. Тому й кожна крива показникової функції мусить проходити через цю точку. Навіть та крива, що відповідає показниковій функції при a>1, як видно на наступному малюнку:

Властивості показникових функцій

• Область визначення — множина всіх дійсних чисел
• Область значень — проміжок (0; +∞)
• Обмежена знизу, a^x>0. Зверху необмежена.
• Не має ні максимуму, ні мінімуму.

Монотонність функції залежить від значення a. Якщо a належить проміжку (0; 1), функція спадна. Якщо належить проміжку (1; +∞), вона зростаюча.

Показникове зростання

Вираз «показникове зростання» (або «експоненціальне зростання») досить часто вживають і в побутовій мові. Зазвичай ним хочуть сказати, що щось росте страшенно швидко. Класичний випадок — поділ бактерій. Час від часу з'являється шкідлива бактерія, яка починає розмножуватися так, що щоразу ділиться надвоє. Такий спосіб розмноження можна описати показниковою функцією f(x) = 2^x. Значення функції показуватиме кількість бактерій після x циклів поділу.

Приклад: на початку (нульова кількість поділів, x = 0) маємо одну бактерію, тобто 2⁰ = 1. Після першого циклу розмноження маємо 2¹ = 2, тобто дві бактерії. Це правильно: одна бактерія ділиться на дві. Тепер обидві ці бактерії діляться, тобто маємо 2² = 4 чотири бактерії. Знову кожна ділиться, тож після третього циклу вже маємо 2³ = 8 бактерій. І так далі.

Це розмноження, хоч так і не здається, страшенно швидке. Скільки бактерій буде після десятого циклу? 2¹⁰ = 1024. Це вже непогане число. Після двадцяти циклів маємо: 2²⁰ = 1,048,576. Після тридцяти циклів ми вже перетинаємо мільярд.

Ця швидкість набагато більша, ніж у звичайної квадратичної функції. Якщо порівняти швидкість показникової функції f(x) = 2^x і квадратичної функції g(x) = x², показникова функція однозначно перемагає. Значення функції f у точці x = 20 ми вже знаємо, а значення квадратичної функції g у точці x = 20 дорівнює: g(20) = 20² = 400. Це в багато разів менше, ніж 1,048,576.