Що таке функція

Функція — це фундаментальне поняття математики, яке тобі варто добре розуміти. Уся математика пронизана функціями, і майже кожен символ, який ти знаєш ще зі школи, насправді є функцією.

Аналогія функції

Чи доводилося тобі бачити кавовий автомат? Що для нього типове? Ти кидаєш у нього монети, і автомат видає тобі каву. Якщо кинути більше монет, автомат відповість кращою кавою.

Функція — це такий математичний кавовий автомат. Ти вкладаєш у функцію якийсь вхід (монети), а функція повертає якийсь вихід (каву). Це і є основний принцип функції.

Завдання функції — прийняти якийсь вхід, якесь число, щось із цим числом усередині зробити, змінити його, а потім повернути нове число на виході.

Основні поняття

Кожна функція має назву, яка її позначає. Найчастіше функцію позначають літерою «f». Для функції потрібне правило, яке визначає, як вона має працювати, — як автомат має варити каву. Для початку можна уявити функцію як таблицю з двох стовпчиків. У першому стовпчику буде наш вхід (в автоматі це вартість монет), а в другому — вихід функції (кава).

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{вхід}&\mbox{вихід}\\ \hline 1&2\\ 2&4\\ 3&6\\ 4&8\\ 5&10\\ \hline \end{array}$$

Бачимо, що вихід завжди удвічі більший за вхід, але зовсім не обов'язково так має бути. Таблиця може виглядати й так:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{вхід}&\mbox{вихід}\\ \hline 0&22\\ 122&74\\ -3&1\\ 42&-45\\ 8&84\\ \hline \end{array}$$

Проте для початку нам вистачить першої, правильної таблиці. Можна сказати, що ця таблиця задає функцію f. Що робить функція? Ми вкладаємо в неї якийсь вхід, функція шукає його в першому стовпчику таблиці й повертає вихід з того самого рядка. Якщо ми шукаємо вихід функції для числа три, запишемо це так:

$$ f(3) = 6 $$

Ми знайшли рядок, де вхід дорівнює трійці, і в тому самому рядку вихід дорівнював шістці. Далі справджувалося б f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 і f(5) = 10. Записувати всі функції таблицями, мабуть, виглядає наочно, поки чисел небагато, але коли чисел більше, це вкрай незручно. Тому нам потрібна інша форма запису. Функцію можна задати формулою. У нашій таблиці вихід був удвічі більший за вхід. Формулою це можна записати так:

$$ f(x) = 2 \cdot x $$

Це проста лінійна функція, але поки що це неважливо. Що нам говорить цей вираз? Літера f — це назва функції, це ми вже знаємо. Вираз у дужках, тобто літера x, — це параметр функції. В аналогії з автоматом це було б поняття «вартість вкинутих монет». Параметр функції — це змінна, до якої записується передане нами значення. Якби ми вкинули в автомат (функцію) двадцять гривень, у функції було б x = 20. А далі автомат, тобто функція, працюватиме із цим значенням по-своєму.

Далі йде знак рівності, а за ним — саме правило, яке визначає, що треба робити із цим значенням x. Бачимо, що функція множить передане значення x на два. І все.

Інші приклади функцій

У цій правій частині може бути практично будь-який математичний вираз. Можуть бути й інші функції, можуть бути умови, які уточнюють означення. Ми могли б описати якусь функцію словами, наприклад так: «якщо на вході парне число, поверни нуль, а якщо непарне — поверни одиницю». Це буде функція, яка повертає лише одиницю та нуль, але це все одно функція.

Важливо зрозуміти, що функцію можна задати майже як завгодно. Звісно, і в функції є свої правила, але зараз вони не так важливі, до того ж одне з них згадано в наступному розділі. Означення функції не мусить на перший погляд мати якийсь сенс чи порядок. Функція цілком може повертати завжди подвоєне значення, окрім випадку, коли на вході сімка. Тоді вона поверне дев'ятку. Це, мабуть, безглуздя, але й це функція.

Функцією можна назвати й значну частину операцій, які ми виконуємо поза математикою. Наприклад, якщо ти рахуєш довжину слова «мамонт», можна сказати, що викликано функцію з назвою «довжина слова», а їй передано як аргумент слово «мамонт». Функція порахувала літери в слові й повернула на виході число шість.

Тобі треба обчислити, які складні відсотки ти платитимеш за позикою або іпотекою? Це теж може зробити функція. Ти просто визначаєш функцію, яка обчислить розмір відсотків, скажімо, через десять років. Треба дізнатися, скільки кілометрів ще проїде автомобіль на певній кількості літрів бензину? Визнач функцію! Якщо автомобіль у середньому проїжджає на літрі бензину, скажімо, 11 кілометрів, то функцію, яка обчислить, скільки кілометрів ми ще проїдемо, можна визначити так:

$$ \mbox{проїдемо}(x) = 11 \cdot x $$

Якщо нам лишилося вже тільки 17 літрів бензину, відстань обчислимо, викликавши функцію так:

$$ \mbox{проїдемо}(17) = 11 \cdot 17 = 187 $$

Функція — це просто все, що на якийсь вхід повертає якесь число. Поверни відстань по прямій від Вінниці до якогось міста, поверни тривалість найдовшої пісні на заданому альбомі, поверни кількість волосин на голові заданої людини, поверни кількість ніг переданої тварини тощо.

Основна властивість функції

Надзвичайно важлива умова для функції (повернімося до таблиці) полягає в тому, що в першому стовпчику з входом жодне значення не може повторюватися двічі. Якби таблиця виглядала так:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{вхід}&\mbox{вихід}\\ \hline 1&2\\ 1&4\\ 1&6\\ 4&8\\ 5&10\\ \hline \end{array}$$

… то ми не змогли б сказати, що має повернути функція, якщо вкласти в неї одиницю:

$$ f(1) = ? $$

Функція має бути чітко визначена, не може бути так, щоб для того самого входу вона могла повернути два різні результати. Так просто не можна. Від функції вимагаємо, щоб для того самого входу вона завжди повертала той самий вихід. Зверни увагу: ця вимога не стосується другого стовпчика, виходу. Виходи цілком можуть збігатися, нам це не заважає. Ось ця таблиця була б правильною:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{вхід}&\mbox{вихід}\\ \hline 1&2\\ 2&2\\ 3&2\\ 4&2\\ 5&10\\ \hline \end{array}$$

Обчислення функції

Ми вже знаємо, як називається кожна частина функції і як приблизно її задати. Тепер крок за кроком пояснимо, як відбувається обчислення функції. Отже, маємо функцію f(x) = 2x. Що станеться, якщо ми вкинемо в неї трійку? Якщо ми хочемо вкинути в функцію трійку, це означає підставити замість параметра функції число три. Аргументом функції є трійка, тож замість усіх x підставляємо трійку:

$$ f(3) = 2 \cdot 3 $$

Уже бачимо, що функція видасть шістку, так само, як щойно таблиця. Однак та таблиця обмежувалася лише п'ятьма числами, а наше нове означення впорається і з іншими числами:

$$\begin{eqnarray} f(10)&=& 2\cdot10=20\\ f(54)&=& 2\cdot54=108\\ f(-7)&=& -14 \end{eqnarray}$$

Цей процес, коли замість змінної x ми підставляємо конкретні значення, називається обчисленням функції, або викликом функції, або застосуванням функції. Тож коли ми скажемо, що «викликаємо функцію f з аргументом 5», то хочемо обчислити значення f(5), яке в нашому випадку буде f(5) = 2 · 5 = 10.

Ще два поняття, які треба запам'ятати. Те, із чим ми викликаємо функцію (те, що підставляємо замість x), називається аргументом функції. Це може здатися трохи заплутаним, але якщо маємо функцію f(x) і викликаємо її зі значенням три, тобто f(3), то x — це параметр функції, а 3 — аргумент функції. Аргумент — це саме те значення, із яким ми викликаємо функцію. Параметр — це початкова змінна, з якою функцію було означено. Це радше технічна деталь.

Ще одне поняття — значення функції, тобто значення, яке функція повертає на виході. Попередня функція при виклику з числом три повернула число шість. Число шість є в цьому випадку значенням функції. Повним реченням сказали б: «функція f має в точці три значення шість». Під поняттям «точка» у цьому контексті зазвичай мають на увазі аргумент функції.

Функції в звичайній математиці

У звичайній математиці трапляється безліч функцій, які мають дуже особливий спосіб запису, тож здається, ніби це й не функції. Наприклад, модуль — це не що інше, як функція. На вході вона бере якесь число, а на виході повертає або те саме число, або число з протилежним знаком.

Ти напевно впізнаєш символ кореня: $\sqrt{}$. Це знову функція. На вході вона бере якийсь аргумент, а на виході повертає квадратний корінь. Так само й другий степінь x² — це функція. На вході вона бере число, а на виході повертає квадрат цього числа.

Досить важливо усвідомити, що більшість подібних чарівних символів насправді не є нічим складнішим за якусь звичайну функцію. Не дивись на символ $\sqrt{}$ як на дивну зігнуту загогулину, дивись на нього як на функцію.

Адже особливо для початківця може збивати з пантелику вираз, який містить купу математичних символів, у яких бідолаха наполовину не тямить, хоча насправді це просто кілька складених функцій. Візьмімо для прикладу такий вираз:

$$ \sqrt{|x^2|}! $$

Коли на це дивиться людина, далека від математики, вона чухає потилицю й не знає, що з цим робити. Проте у виразі міститься аж чотири досить прості функції, які послідовно застосовуються до змінної x. Це можна було б розписати за допомогою названих і вкладених функцій так:

$$ \mbox{факторіал}(\mbox{корінь}(\mbox{модуль}(\mbox{квадрат}(x)))) $$

Запис довший, але для того, хто не орієнтується в символах, мабуть, зрозуміліший. Також цілком зрозуміло, в якій послідовності функції викликатимуться одна за одною.

Підсумок запису функції

Функція має назву, і це може бути в принципі що завгодно. Найчастіше загальну функцію називають f. Кожна функція має задану кількість параметрів, які ми пишемо в круглих дужках після назви. Якби наша функція f мала два параметри, ми записали б це так: f(x; y) або f(a; b). На назви параметрів загалом не зважають.

Деякі часто вживані функції мають власний символ, наприклад корінь має символ $\sqrt{}$. Далі, sin або sin(x) — це функція синус, |x| — функція модуль, а x! — функція факторіал.

Якщо функція має один параметр, дужки іноді опускають, що буває то зручніше для сприйняття запису, то ні. Отже, sin(x) і sin x — правильні записи функції синус.

Коли говорять про параметр функції, мають на увазі літеру x у записі f(x). Аргумент — це значення, із яким ми викликаємо функцію, яке підставляємо замість x. Ці два поняття часто зливаються. Значення функції — це значення, яке ми отримаємо після виклику функції. Записуємо його просто як назву функції, дужки й аргумент. Якщо маємо функцію f(x) = 2x і замість параметра x підставляємо аргумент x = 4, то кажемо, що ми викликали функцію з аргументом x = 4, а отримане значення функції f(4) дорівнює восьми.