Логарифмічна функція

Логарифмічна функція — це обернена функція до показникової функції.

Що таке логарифм

Логарифмічну функцію записуємо за допомогою $\log$, а натуральний логарифм (див. далі) позначаємо ln. Основний запис логарифмічної функції має такий вигляд:

$$y=\log_ax$$

Цей запис читаємо: «Логарифм числа x за основою a». Ця логарифмічна функція обернена до показникової функції f(x) = a^x. Значення логарифмічної функції називають логарифмом.

Оскільки логарифмічна функція обернена до показникової, має виконуватися така рівносильність:

$$\Large y=\log_ax\quad\Leftrightarrow\quad a^y=x$$

Тобто якщо значення a^y дорівнює x, то логарифм числа x за основою a дорівнює y. Розгляньмо кілька прикладів. Нехай маємо показникову функцію f(x) = 2^x. Як виглядатиме обернена (логарифмічна) функція? Ось так: $f^{-1}(x)=\log_2x$. Якщо в показникову функцію підставити трійку, отримаємо: f(3) = 2³ = 8.

Яка рівність має виконуватися тепер? Якщо в обернену функцію f⁻¹ підставити вісімку, логарифмічна функція має повернути трійку. Адже число 3 було аргументом показникової функції, а число 8 — результатом. Обернена функція поводиться навпаки: на вході число 8, на виході число 3. Перевірити, що так і є, можна, наприклад, у Google.

Отже, якщо ми записали 2³ = 8, то обернена логарифмічна функція дає рівність $\log_28=3$. То що таке логарифм? Логарифм — це показник степеня, до якого треба піднести основу, щоб отримати аргумент x.

Важливі логарифмічні функції

Деякі логарифмічні функції особливо важливі. Це насамперед «натуральний логарифм», основою якого є число Ейлера. Його позначають літерою e. Це ірраціональне число, тобто число з нескінченним неперіодичним десятковим розкладом. Його наближене значення: $e\approx 2{,}718,281,828\ldots$ Натуральний логарифм записують або як $\log_ex$, або простіше як ln x. Літера «n» тут походить від латинського «logarithmus naturalis», а запам'ятати це легко: «натуральний логарифм».

Ще один значущий логарифм — «десятковий логарифм», тобто логарифмічна функція з основою десять. Його зазвичай записують як $\log_{10}x$ або просто $\lg x$. Запис $\lg x$ завжди означає основу 10.

Властивості логарифмічної функції

Як ми вже знаємо, логарифмічна функція обернена до показникової. Тому вона успадковує деякі її властивості й обмеження. Ми знаємо, що показникова функція має вигляд f(x) = a^x, де a — дійсне число, більше за нуль і відмінне від одиниці. Отже, і основа логарифма a має бути більшою за нуль і відмінною від одиниці. Ще раз запишемо логарифмічну функцію:

$$y=\log_ax,\quad a\in\mathbb{R},\quad a>0,\quad a\ne1$$

Оскільки це обернена функція, область визначення й область значень нам уже відомі. Область визначення логарифмічної функції збігається з областю значень показникової, тобто дорівнює (0; +∞). Область значень логарифма збігається з областю визначення показникової функції, тобто це множина всіх дійсних чисел.

Графіки логарифмічних функцій

Так само як для показникової функції, розрізняємо два випадки: коли основа a належить проміжку (0; 1) і коли вона належить проміжку (1; +∞). У першому випадку, тобто коли a належить проміжку (0; 1), графік виглядає так:

Якщо основа a належить проміжку (1; +∞), графік виглядає так:

Погляньмо ще на графіки показникової функції та оберненої до неї логарифмічної функції в одній системі координат (синій — логарифм, червона — показникова функція):

Чому графіки проходять через точку (1; 0)

Обидва графіки перетинають вісь Ox у точці x = 1. Це правильно, адже кожна показникова функція проходить через точку (0; 1). Оскільки логарифм — обернена функція, його графік завжди мусить проходити через точку (1; 0). Це логічно. Якщо графік проходить через точку (1; 0), то для вхідного значення x = 1 маємо вихідне значення f(x) = 0.

Для логарифмів це означає, що ми шукаємо показник степеня, до якого треба піднести основу, щоб отримати одиницю. Який це показник? Лише нульовий. Будь-яке число в нульовому степені дорівнює одиниці, тому яка б не була основа, логарифмічна функція завжди проходитиме через точку (1; 0). (Зауваження: не забувай, що основа не може бути зовсім будь-якою: a>0 і a≠1.)

Теореми про логарифми (формули)

Далі наведено деякі важливі співвідношення й формули для логарифмів:

Припустімо, що a справді є основою логарифма, тобто a>0, a≠1. Нехай також x₁ і x₂ — довільні додатні дійсні числа. Тоді виконується:

$$\begin{eqnarray} \log_a(x_1\cdot x_2)&=&\log_a x_1+\log_a x_2\\ \log_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)&=&\log_a x_1 - \log_a x_2\\ \log_a x^r&=&r\cdot\log_ax\quad\forall r\in\mathbb{R}\\ \log_a\sqrt[n]{x}&=&\frac{1}{n}\log_ax\quad\forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$$

Деякі співвідношення, що безпосередньо випливають з означення логарифма:

$$\begin{eqnarray} \log_a1&=&0\quad(a^0=1)\\ \log_aa&=&1\quad(a^1=a)\\ a^{\log_a x} &=& \log_a{a^x} = x \end{eqnarray}$$

Як виразити довільний логарифм через натуральний

Іноді на калькуляторі немає логарифма з довільною основою, а є лише натуральний і десятковий. Що робити, якщо треба обчислити логарифм з іншою основою? Допоможе формула. Виконується:

$$\log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}$$

Якщо за b вибрати число Ейлера, отримаємо формулу:

$$\log_ax=\frac{\ln x}{\ln a}$$

У першому розділі нам треба було обчислити логарифм числа 8 за основою 2. За допомогою натурального логарифма це можна обчислити так:

$$\log_28=\frac{\ln8}{\ln2}=3$$

Обчислення можна знову перевірити в Google. Натуральний логарифм використовувати необов'язково, можна взяти й десятковий, формула це дозволяє. Тож так само виконується:

$$\log_28=\frac{\lg8}{\lg2}=3$$

(Пам'ятай, що $\lg$ — це логарифм за основою 10.) Перевірити можна знову в Google.