Лінійна функція

Лінійна функція — це кожна функція, задана формулою y = kx + b, де k і b — дійсні числа. Окремий випадок лінійної функції виникає, коли k = 0, бо попередній запис можна скоротити так: y = b, і це стала функція (деякі джерела не зараховують сталу функцію до лінійних).

Види лінійних функцій

Графіки лінійних функцій досить гарні, бо графіком завжди є пряма. Наприклад, уже згадана стала функція має графік у вигляді прямої, паралельної осі Ox, що перетинає вісь Oy в точці b. Якщо b = 0, пряма завжди проходить через початок координат O(0; 0). Таку функцію називають також прямою пропорційністю.

Інші властивості лінійної функції випливають із того, яке k. Якщо k > 0, то функція зростаюча, а якщо k < 0, то графік одразу стає спадним. Графіки функцій y = kx і y = −kx симетричні відносно осі Oy.

Властивості лінійних функцій

Область визначення лінійних функцій — множина дійсних чисел, так само і область значень. Функція зростає чи спадає залежно від коефіцієнта k. Функція оборотна, бо не існує горизонтальної прямої, яка б перетинала графік лінійної функції більш ніж в одній точці (для сталої функції це не виконується). Далі, вона не періодична, на всій області визначення неперервна, не має ні максимуму, ні мінімуму. Лінійна функція не є ні парною, ні непарною, лише коли b = 0 — тоді це непарна функція.

Приклад

Побудуй графік функції y = −3x +1.

Графік цієї функції побудувати легко. Ми знаємо, що графіком кожної лінійної функції є пряма (теоретично може бути й відрізок, якщо треба побудувати графік лінійної функції лише на певному проміжку). Цього нам цілком досить. Щоб провести пряму, достатньо знати координати лише двох точок. Обчислімо їх. Спочатку підставимо замість x найпростіше число — нуль. Отримаємо f(0) = 1. Першою точкою, через яку проходитиме пряма, буде (0; 1). Як другу точку можна підставити, скажімо, одиницю. Отримаємо таке: f(1) = −3 + 1 = −2. Друга точка матиме координати (1; −2). Тепер маємо потрібні дві точки, щоб побудувати графік цієї функції: