Парна й непарна функції

Для функцій можна визначати парність, тобто з'ясовувати, парна функція чи непарна. У крайньому випадку функція може бути одночасно і парною, і непарною, але здебільшого вона не є ні парною, ні непарною.

Парність

Функція парна, якщо виконується просте правило: коли в неї підставити елемент x, а потім протилежний елемент −x, функція мусить повернути те саме значення. Типова парна функція — f(x) = x². Якщо викликати її з аргументами 6 і −6, отримаємо: f(6) = 36 і f(−6) = 36. Аргументи відрізнялися лише знаком, тож результат однаковий.

Формальне означення може виглядати так. Якщо функція f парна, то має виконуватися

$$\forall x\in D(f): f(x)=f(-x)$$

Для всіх x з області визначення функції має виконуватися: навіть коли ми викличемо функцію з протилежним аргументом, тобто −x, значення функції мусять збігатися.

Як парна функція проявляється на графіку? Якщо підставити x і −x, отримаємо те саме y. Якщо над цим замислитися: x і −x лежать на осі Ox на однаковій відстані від початку координат і мають однакову ординату. Це означає, що графік парної функції симетричний відносно осі Oy. Для ілюстрації — графік функції x²:

З класичних функцій парними є: косинус і функції виду f(x) = x^a, де a — парне число. З непарної функції парну робить модуль, наприклад f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Непарна функція

Непарна функція має задовольняти схожі правила, що й парна. Отже, функція f непарна, якщо виконується таке правило:

$$\forall x\in D(f): f(-x)=-f(x)$$

На практиці це означає, що коли непарній функції належить точка (a; b), то їй мусить належати й точка з протилежними координатами, тобто (−a; −b). Прикладом непарної функції є f(x) = x³. Якщо замість x підставити двійку, отримаємо:

$$f(-x)=f(-2)=(-2)^3=-8$$

У другому виразі отримали б

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Як це проявляється на графіку? Якщо функції має належати точка (a; b) і водночас (−a; −b)? Якщо це намалювати, побачимо, що такий графік симетричний відносно початку координат, тобто точки O(0; 0). Графік функції f(x) = x³ зображено на наступному рисунку.

З класичних функцій непарними є: f(x) = x^a, де a — непарне число, f(x) = kx, де k — довільне дійсне число (це лінійна функція без вільного члена). Також f(x) = k/x і синус.

Перевірка парності

Як перевірити, чи функція парна? Треба діяти за означенням. Візьмімо, наприклад, відому функцію f(x) = x² і перевірмо за означенням. Воно каже, що f(x) = f(−x). Якщо функція парна, то має виконуватися:

$$x^2=(-x)^2$$

Мінус x у квадраті можна за правилами дій зі степенями розписати так:

$$x^2=(-1)^2\cdot x^2$$

Мінус одиниця в квадраті дорівнює одиниці, тож отримуємо назад лише x².

$$x^2=1\cdot x^2$$

Чи є наступна функція парною?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Підставимо в означення:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Ці дроби можна перетворити так, щоб модуль стояв не над цілим дробом, а окремо в чисельнику й знаменнику.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Перетворимо знаменник другого дробу, бо з означення модуля, безперечно, виконується |x| = |−x|.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Тепер маємо рівність.

Перевірка непарності

Як перевірити, чи функція непарна? Знову за означенням. Воно каже, що функція f непарна, якщо

$$f(-x)=-f(x)$$

Почнімо з функції f(x) = x³. Підставимо в означення:

$$(-x)^3=-x^3$$

Ліву частину розпишемо так само, як у попередньому прикладі:

$$(-1)^3\cdot x^3=-x^3$$

Мінус одиниця в кубі дорівнює мінус одиниці:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Отже, маємо рівність:

$$-x^3=-x^3$$

Функція непарна.

Чи є задана функція непарною?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Підставимо в означення:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Тут майже нічого перетворювати, мінус у першому дробі просто виносимо перед увесь дріб, тож отримуємо рівність:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

Функція непарна.

Ні парна, ні непарна

Функція може бути ні парною, ні непарною. Таких функцій, мабуть, більшість. Прикладом може бути лінійна функція f(x) = x + 1. Спробуємо підставити в означення парності:

$$x+1=-x+1$$

Виразимо x:

$$\begin{eqnarray} x+1&=&-x+1\\ 2x+1&=&1\\ 2x&=&0 \end{eqnarray}$$

Рівність виконується не для всіх x, а лише для деяких, тож функція не є парною. Тепер перевіримо непарність:

$$\begin{eqnarray} -x+1&=&-(x+1)\\ -x+1&=&-x-1\\ 0x&=&-2 \end{eqnarray}$$

Це рівняння взагалі не має розв'язків, тому функція не є непарною.

І парна, і непарна

Чи існує функція, яка була б одночасно і парною, і непарною? Чи існує графік функції, симетричний і відносно осі Oy, і відносно початку координат? Відповідь: так. Існує рівно одна функція, яка є і парною, і непарною водночас, — це стала функція f(x) = 0. Її графік збігається з віссю Ox.

Примітка: насправді таких функцій існує нескінченно багато, адже можна означити функцію g(x), яка матиме той самий запис, але буде означена на іншій області визначення. Наприклад, можна мати функцію g(x) = 0, областю визначення якої є лише натуральні числа. Ця функція відрізняється від функції f(x), означеної на дійсних числах. Проте запис завжди буде однаковий.

Складені функції

Цікава ситуація виникає, коли маємо дві функції, парні або непарні, і намагаємося їх додати, перемножити тощо. Наприклад, сума двох парних функцій знову є парною функцією. Правил і комбінацій багато. Наприклад, сума двох парних функцій є парною, а добуток двох непарних функцій теж є парною функцією.