Базис векторного простору

Базис векторного простору V — це множина лінійно незалежних векторів, лінійною оболонкою яких є простір V.

Мотивація введення базису векторного простору

Нехай дано якийсь векторний простір V і якусь підмножину W ⊂ V таку, що лінійна оболонка <W> цієї множини дорівнює простору V, тобто <W> = V. Приклад: нехай W = {(1; 0), (0; 1), (2; 3)} і V = ℝ².

Очевидно, що <W> = ℝ². Множина W має лише три вектори, проте завдяки лінійній оболонці ми можемо описати нею всю нескінченну множину векторів ℝ². Виникає питання — чи можна з множини W прибрати ще якісь вектори й зберегти властивість <W> = ℝ²?

Якщо, наприклад, відкинути останній вектор (2; 3), отримаємо множину W₁ = {(1; 0), (0; 1)}. Лінійною оболонкою цієї множини знову є ℝ². Тож виникає питання — яка найменша множина векторів має своєю лінійною оболонкою множину ℝ²?

Якщо з W₁ прибрати будь-який із двох векторів, що залишилися, ця множина, позначимо її W₂, вже не матиме своєю оболонкою множину ℝ². Наприклад, лінійною оболонкою множини W₂ = {(1; 0)} була б множина <W₂> = {(a; 0),|,a∈ ℝ}. Вона, звісно, не дорівнює множині ℝ², адже в ній бракує, скажімо, вектора (0; 1).

Отже, множина W₁ = {(1; 0), (0; 1)} є мінімальною множиною векторів, лінійною оболонкою якої є простір ℝ². Далі нас можуть цікавити ще такі питання:

1. Чи існує якась зовсім інша одноелементна множина, лінійною оболонкою якої був би простір ℝ²?
2. Чи існує якась єдина найменша множина векторів, лінійною оболонкою якої був би простір ℝ²?

Як усі знаємо з жовтої преси, якщо заголовок у газеті має форму питання, то відповідь — ні, і в цьому випадку так само. Одноелементної множини, що мала б лінійну оболонку ℝ², не існує. Доведення можна провести так:

Чи існує одноелементна множина, оболонкою якої є ℝ²?

Припустімо, що існує множина $\left\{\vec{x}\right\}$, яка містить один вектор $\vec{x}$, і всі його лінійні комбінації утворюють простір ℝ². Тоді мають існувати дійсні числа a₁, a₂ такі, що

$$\begin{eqnarray} a_1 \cdot \vec{x} &=& (1; 0)\\ a_2 \cdot \vec{x} &=& (0; 1)\\ \end{eqnarray}$$

Чому саме ці вектори? Насправді неважливо, які вектори обрати, головне, щоб вони були лінійно незалежні.

Позначимо $\vec{x}=(x_1; x_2)$. Тоді, звісно, x₁, x₂ ≠ 0, бо якби x₁ = 0, то навряд чи вдалося б отримати лінійною комбінацією вектора $\vec{x}$ потрібний вектор (1; 0). Те саме для x₂. Попередню систему рівнянь просто розпишемо:

$$\begin{eqnarray} a_1 \cdot (x_1; x_2) &=& (1; 0)\\ a_2 \cdot (x_1; x_2) &=& (0; 1)\\ \end{eqnarray}$$

Розпишемо це на рівняння:

$$\begin{eqnarray} a_1 \cdot x_1 &=& 1\\ a_1 \cdot x_2 &=& 0\\ a_2 \cdot x_1 &=& 0\\ a_2 \cdot x_2 &=& 1 \end{eqnarray}$$

З другого та третього рівняння випливає, що a₁ = a₂ = 0, бо якщо x₁, x₂ ≠ 0, то залишається лише можливість a₁ = a₂ = 0, щоб у добутках a₁ · x₂ та a₂ · x₁ отримати нуль. Але це суперечить першому та четвертому рівнянню, адже якщо a₁ = 0, то a₁ · x₁ = 0, а перше рівняння стверджує, що a₁ · x₁ = 1.

Жодна одноелементна множина не може мати своєю лінійною оболонкою простір ℝ².

Чи існує найменша множина векторів, оболонкою якої є ℝ²?

Ми знаємо, що одноелементної множини з такою властивістю не існує, і знаємо, що множина W = {(1; 0), (0; 1)} має своєю лінійною оболонкою ℝ². Питаємо, чи ця множина є єдиною двоелементною множиною, оболонкою якої є ℝ²?

Звісно, що ні, бо й інша двоелементна множина W = {(2; 0), (0; 2)} має оболонку ℝ². Будь-яка пара векторів (a; 0), (0; a), a∈ ℝ, a≠0 має своєю оболонкою ℝ². Насправді будь-яка пара лінійно незалежних векторів має своєю оболонкою ℝ². Отже, існує нескінченно багато двоелементних множин, які можуть своєю оболонкою породжувати ℝ².

Водночас будь-яка триелементна підмножина W₃⊆ℝ² складатиметься із залежних векторів. Чому? Якщо маємо три вектори (a; b), (c; d), (e; f), можемо записати їх у матрицю:

$$\begin{pmatrix} a&c&e\\ b&d&f \end{pmatrix}$$

Ця матриця має ранг щонайбільше два, тож у ній обов'язково існує якийсь лінійно залежний стовпець/вектор.

Означення базису векторного простору

Нехай дано векторний простір V і нехай B ⊆ V. Кажемо, що B є базисом векторного простору V, якщо виконується:

1. <B> = V
2. B є лінійно незалежною множиною векторів.

Базис — це незалежна множина векторів, оболонкою якої є простір V. Тож базис є мінімальною множиною векторів, оболонкою якої є простір V. Якщо з базису прибрати один елемент, оболонкою вже не буде простір V. Якщо додати один вектор, цей вектор буде лінійною комбінацією решти векторів.

Якщо ми працюємо в просторі ℝⁿ, то множина n-ок (1; 0; …; 0), (0; 1; 0; …; 0), …, (0; 0; …; 0; 1) утворює базис простору ℝⁿ, і цей базис називається канонічним (стандартним) базисом. Наприклад, для ℝ³ отримали б канонічний базис (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1). Тоді вектор (a; b; c) отримали б як комбінацію

$$ a \cdot (1; 0; 0) + b \cdot (0; 1; 0) + c \cdot (0; 0; 1) $$

Якби ми прибрали вектор (0; 1; 0), оболонкою цієї нової множини не був би ℝ³. Якби ми додали вектор (14; −2; 5), цей вектор був би лінійною комбінацією решти векторів із коефіцієнтами a = 14, b = −2, c = 5.

Основні властивості базису векторного простору

• Кожен лінійний простір V має базис, за винятком тривіального простору $\left\{\vec{0}\right\}$ — простору, що містить єдиний, нульовий вектор. Кожна лінійно незалежна множина B₀ ⊆ V є або базисом простору V, або її можна доповнити до базису. Якщо B₀ не є базисом, тобто <B₀>≠ V, то існує вектор $\vec{x}_0\in V \setminus \left<B_0\right>$. Цей вектор не є комбінацією векторів із B₀. Додамо його до множини B₀ і отримаємо нову множину $B_1 = B_0 \cup \left\{\vec{x}_0\right\}$. Знову можемо сказати, що B₁ є або базисом, або її можна доповнити до базису. Якщо простір V має скінченний базис, то за скінченну кількість кроків отримаємо множину незалежних векторів B_n, яка буде базисом простору V.

• Базис простору визначається неоднозначно, завжди існує більше ніж один базис.

• Усі базиси векторного простору мають однакову кількість елементів/векторів або є нескінченними. Наприклад, усі базиси простору ℝ² мають два вектори, жодна множина з трьох елементів і жодна множина з одного елемента не є базисом простору ℝ².

• Якщо маємо базис $B = \left\{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\right\}$ простору V, то кожен вектор $\vec{x}$ із простору V ми можемо виразити як лінійну комбінацію векторів базису, тобто існують дійсні коефіцієнти a₁, …, a_n такі, що

  $$ \vec{x}=a_1 \cdot \vec{e}_1 + \ldots + a_n \cdot \vec{e}_n $$

  При цьому ці коефіцієнти єдині. Тобто якщо для коефіцієнтів b₁, … b_n виконується

  $$ \vec{x}=b_1 \cdot \vec{e}_1 + \ldots + b_n \cdot \vec{e}_n $$

  то це має означати, що a₁ = b₁, …, a_n = b_n.