Матриця переходу

Якщо маємо векторний простір V і два його базиси, то один вектор із простору можна виразити як комбінацію векторів обох базисів. Матриця переходу допомагає переходити від одного розкладу до іншого.

Мотивація

Нехай дано n-вимірний векторний простір V і два його різні базиси $E = \left\{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\right\}$ та $F = \left\{\vec{f}_1, \ldots, \vec{f}_n\right\}$. Далі оберемо якийсь вектор $\vec{x}$ із V. Оскільки $\vec{x}$ належить простору V, а E і F є базисами цього простору, то мають існувати коефіцієнти a₁, …, a_n такі, що:

$$ \vec{x} = a_1 \cdot \vec{e}_1 + \ldots + a_n \cdot \vec{e}_n $$

і водночас мають існувати коефіцієнти b₁, …, b_n такі, що:

$$ \vec{x} = b_1 \cdot \vec{f}_1 + \ldots + b_n \cdot \vec{f}_n $$

У першому випадку ми виражаємо вектор $\vec{x}$ через базис E, у другому — через базис F. Щоб виразити $\vec{x}$, ми використовуємо два різні базиси, тож одночасно отримуємо два різні набори коефіцієнтів a_i та b_i. Виникає питання: якщо ми знаємо коефіцієнти a_i, чи існує спосіб отримати з них коефіцієнти b_i, тобто координати вектора в іншому базисі?

Так, для цього слугує так звана матриця переходу.

Як отримати матрицю переходу

Як і раніше, маємо простір V і два базиси $E = \left\{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\right\}$ та $F = \left\{\vec{f}_1, \ldots, \vec{f}_n\right\}$. Оскільки E є базисом простору V, то, звісно, і всі вектори $\vec{f}_1, \ldots, \vec{f}_n$ можна виразити як лінійні комбінації векторів базису E. Вектори $\vec{f}_1, \ldots, \vec{f}_n$ хоч і входять до базису F, але водночас є звичайними елементами простору V, тож має виконуватися:

$$\begin{eqnarray} \vec{f}_1 &=& a_{11} \cdot \vec{e}_1 + a_{21} \cdot \vec{e}_2 + \ldots + a_{n1} \cdot \vec{e}_n\\ \vec{f}_2 &=& a_{12} \cdot \vec{e}_1 + a_{22} \cdot \vec{e}_2 + \ldots + a_{n2} \cdot \vec{e}_n\\ &\ldots&\\ \vec{f}_n &=& a_{1n} \cdot \vec{e}_1 + a_{2n} \cdot \vec{e}_2 + \ldots + a_{nn} \cdot \vec{e}_n \end{eqnarray}$$

Тепер перепишемо ці рівності в матрицю так, щоб у першому стовпці матриці стояли коефіцієнти вектора $\vec{f}_1$, тобто a_i1, у другому — коефіцієнти вектора $\vec{f}_2$, тобто a_i2, і так далі. Отримаємо матрицю:

$$P=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \ldots\\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\\ \end{pmatrix}$$

Така матриця називається матрицею переходу від базису E до базису F. Якщо маємо вектор $\vec{x}=(x_1; \ldots; x_n)$ із V, який має в базисі F коефіцієнти b₁, …, b_n, то коефіцієнти a₁, …, a_n в базисі E отримаємо так:

Приклад

Працюватимемо у векторному просторі ℝ³. Оберемо канонічний (стандартний) базис E = {(1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1)} і другий базис F = {(2; 0; 0), (3; 2; 0), (1; 5; 4)}. Матриця переходу від базису E до базису F матиме вигляд

$$P=\begin{pmatrix} 2&3&1\\ 0&2&5\\ 0&0&4 \end{pmatrix}$$

Тепер оберемо довільний вектор $\vec{x}\in \mathbb{R}^3$, наприклад $\vec{x}=(12; 41; 28)$. Він має в базисі F коефіцієнти b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Виконаємо множення матриць:

У базисі E вектор $\vec{x}$ має коефіцієнти a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Отже, виконується:

$$ (12; 41; 28) = 12\cdot(1; 0; 0)+41\cdot(0; 1; 0)+28\cdot(0; 0; 1) $$