Приклади векторних просторів

У попередній частині ми означили векторні простори, тобто лінійні простори, і розглянули приклад класичного векторного простору ℝ². У цій статті розглянемо інші приклади.

Векторний простір Rⁿ

Ми вже знаємо векторний простір ℝ², що складається з векторів вигляду (a; b), де a, b — дійсні числа. Покажемо, що насправді будь-яка множина упорядкованих n-ок ℝⁿ для n > 0 утворює векторний простір.

Для n = 2 отримуємо множину пар (a; b). Якщо збільшити n до n = 3, отримаємо множину трійок. Так від площини ми переходимо до простору. Отже, ℝ² — це класична площина, а ℝ³ — класичний тривимірний простір.

Означення операцій додавання й множення такі самі, як і для n = 2, тільки додавати/множити треба щоразу всі компоненти векторів:

$$\begin{eqnarray} \left(a_1; a_2; …; a_n\right) + \left(b_1; b_2; …; b_n\right) &=& \left(a_1+b_1; a_2+b_2; …; a_n+b_n\right)\\ k\cdot\left(a_1; a_2; …; a_n\right) &=& \left(k\cdot a_1; k\cdot a_2; …; k\cdot a_n\right) \end{eqnarray}$$

Тепер слід було б довести, що векторний простір ℝ³, а загалом ℝⁿ задовольняє всі сім пунктів з означення векторних просторів. Проте доведення були б, по суті, однакові, лише замість вектора з двома компонентами ми працювали б з вектором із трьома. Наприклад, перший пункт, що стосується комутативності додавання векторів, для n = 3 ми довели б так:

Маємо довести: $\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x}$, де $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^3$. Розпишемо додавання двох векторів:

$$\left(a; b; c\right) + \left(d; e; f\right) = \left(a+d; b+e; c+f\right)$$

Якщо в лівій частині поміняти вектори місцями, отримаємо:

$$\left(d; e; f\right) + \left(a; b; c\right) = \left(d+a; e+b; f+c\right)$$

Але з властивості додавання двох дійсних чисел випливає, що ці результуючі вектори однакові, тобто (a + d; b + e; c + f) = (d + a; e + b; f + c).

Якщо порівняти це з доведенням для n = 2 у попередній статті, побачимо, що доведення практично те саме. Решту шести пунктів можна довести аналогічно.

Цікаво, що векторним простором є й ℝ¹ = ℝ, сама множина дійсних чисел. Додавання й множення векторів тоді перетворюються на звичайне додавання й множення дійсних чисел, а операції додавання й множення дійсних чисел, безперечно, задовольняють усі 7 пунктів.

З простором ℝⁿ ми ще не раз зустрінемося, це досить поширений векторний простір.

Векторний простір матриць m× n

Множина всіх матриць, що мають m рядків і n стовпців і містять лише дійсні числа, разом з операціями додавання матриць і множення матриць на скаляр утворює векторний простір. Скорочено позначатимемо цей простір ℝ^{m× n}.

Для m = 2, n = 3 отримали б матриці, що мають два рядки й три стовпці. Приклад конкретної матриці:

$$\begin{pmatrix} 4&5&1\\ 9&1&3 \end{pmatrix}$$

Операцію додавання означимо так:

$$ \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn}\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&…&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&…&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ b_{m1}&b_{m2}&…&b_{mn}\\ \end{pmatrix} =$$

$$ = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&…&a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&…&a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&…&a_{mn}+b_{mn}\\ \end{pmatrix} $$

Класичне додавання матриць. Множення на скаляр означимо подібно:

$$ k \cdot \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&…&a_{mn}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k\cdot a_{11}&k\cdot a_{12}&…&k\cdot a_{1n}\\ k\cdot a_{21}&k\cdot a_{22}&…&k\cdot a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ k\cdot a_{m1}&k\cdot a_{m2}&…&k\cdot a_{mn}\\ \end{pmatrix} $$

Так означені операції на множині всіх матриць ℝ^{m× n} утворюють векторний простір. Важливо, що завжди треба брати множину всіх матриць однакового типу. Якби до неї потрапила матриця іншого типу, наприклад, якби до ℝ^{2× 2} ми додали матрицю типу 3 × 1, виникла б проблема, бо матрицю типу 3 × 1 узагалі не можна додати до матриці типу 2 × 2.

Тепер нам знову слід було б перевірити, що так означений векторний простір задовольняє всі 7 умов, які ми ставимо до векторного простору. Оскільки з матрицями писанини було б надто багато, і передусім для мене, то стисло:

Сума двох матриць дає нову матрицю того самого типу. Множення на скаляр теж дає нову матрицю того самого типу, тож за типами наші операції узгоджені.

1. $\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x}$: додавання матриць, очевидно, комутативне, бо елемент із координатами ij у результуючій матриці матиме вигляд $x_{ij}+y_{ij} = y_{ij}+x_{ij}$.

• $(\vec{x}+\vec{y})+\vec{z}=\vec{x}+(\vec{y}+\vec{z})$: додавання матриць також асоціативне, бо $(x_{ij}+y_{ij})+z_{ij}=x_{ij}+(y_{ij}+z_{ij})$
• $a\cdot(b\cdot \vec{x}) = (a\cdot b)\cdot\vec{x}$: знову виконується $a \cdot (b\cdot x_{ij}) = (a\cdot b)\cdot x_{ij}$
• $a \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = a\cdot \vec{x} + a\cdot \vec{y}$: знову для елементів із координатами ij отримуємо рівність: $a \cdot (x_{ij} + y_{ij}) = a\cdot x_{ij} + a\cdot y_{ij}$
• $(a+b)\cdot \vec{x} = a\cdot \vec{x}+b\cdot \vec{x}$: знову просто виразимо елемент із координатами ij: $(a+b)\cdot x_{ij} = a\cdot x_{ij}+b\cdot x_{ij}$
• $1\cdot \vec{x} = \vec{x}$: оскільки $1\cdot x_{ij} = x_{ij}$, цей пункт теж виконується.
• Існування нульового елемента. Це нульова матриця, бо для всіх матриць $\vec{x}$ нашого векторного простору виконується 0 · x_ij = 0

Векторний простір многочленів

Многочлен, або поліном, позначаємо p(x), і це вираз вигляду:

$$ p(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_n x^n. $$

Припускаємо, що a_n≠0. Степенем такого многочлена тоді є саме число n. Дійсні числа a₀, …, a_n називаємо коефіцієнтами многочлена. Прикладом многочлена може бути вираз 4 + 3x − 7x², де a₀ = 4, a₁ = 3, a₂ = −7, а степінь многочлена дорівнює 2. Деякі коефіцієнти можуть бути нульовими, тож вираз x²+π x⁷ — многочлен сьомого степеня, у якого a₂ = 1, a₇ = π, а решта коефіцієнтів нульові.

Многочлени можна легко додавати — просто додаємо їхні коефіцієнти. Приклад:

$$ (2+3x-x^2) + (4-5x+101x^2+5x^3) = 6-2x+100x^2+5x^3 $$

Загалом додавання многочленів можна означити так:

$$ (a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_n x^n) + (b_0 + b_1x + b_2x^2 + … + b_m x^m) = $$

$$ = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + (a_2+b_2)x^2 + … + (a_q+b_q) x^q,$$

де q — максимум із чисел m і n. Добуток многочлена p(x) на число k отримуємо тим, що множимо на число k усі коефіцієнти:

$$k\cdot (a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_n x^n) =$$ $$= (k\cdot a_0) + (k\cdot a_1)x + (k\cdot a_2)x^2 + … + (k\cdot a_n) x^n$$

Для прикладу:

$$ 7\cdot (3+6x-5x^2) = 21+42x-35x^2 $$

Множина всіх многочленів, позначимо її P(X), з такими операціями додавання й множення утворює векторний простір. Перевірка:

Сума двох многочленів знову дає многочлен, множення на скаляр також дає новий многочлен. За типами означені нами операції узгоджені.

Решту семи властивостей, які має задовольняти векторний простір, можеш перевірити як домашнє завдання. Доведення буде практично таке саме, як для матриць, лише замість x_ij писатимеш x_i. Нульовим многочленом тоді є многочлен p(x) = 0.

Якщо для матриць ми вимагали, щоб у векторному просторі були лише матриці одного типу, то для многочленів такої вимоги нема. Її навіть не можна висувати. Якби ми взяли множину всіх многочленів другого степеня, ця множина не утворювала б векторного простору. Чому? Покажемо це на контрприкладі. Додамо два многочлени:

$$ \left(1+2x+3x^2\right) + \left(1+2x-3x^2\right) = 2+4x $$

Оскільки в першому многочлені є 3x², а в другому −3x², після додавання ми отримали 0x², а тим самим знизили степінь многочлена. Многочлен 2 + 4x має степінь 1, а не 2.