Лінійна оболонка

Якщо маємо якусь множину векторів і знайдемо всі їхні лінійні комбінації, то отримаємо лінійну оболонку цієї множини векторів.

Означення лінійної оболонки

Нехай дано вектори $\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n$. Ми вже знаємо, що з цих векторів можна скласти новий вектор за допомогою лінійної комбінації. Оберемо дійсні числа a₁, …, a_n, і новий вектор $\vec{y}$ отримаємо множенням і додаванням

$$ \vec{y}=a_1 \cdot \vec{x}_1 + \ldots + a_n \cdot \vec{x}_n $$

Таким способом, якщо принаймні один із векторів $\vec{x}_i$ відмінний від нульового, з множини векторів $\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n$ можна отримати нескінченно багато «нових» векторів — достатньо відповідним чином обрати інші коефіцієнти a₁, …, a_n.

Якщо генерувати вектори й далі, зрештою отримаємо всі вектори, які можна одержати лінійною комбінацією векторів $\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n$. Таку множину називаємо лінійною оболонкою векторів $\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n$. Лінійну оболонку множини векторів X позначаємо кутовими дужками: <X>. Формально лінійну оболонку можна записати так:

$$ \left<\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n\right> = \left\{a_1 \cdot \vec{x}_1+\ldots+a_n \cdot \vec{x}_n | a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}\right\}, $$

якщо кількість векторів скінченна. Якщо маємо нескінченну множину векторів X, можна взяти всі її скінченні підмножини Y_i ⊆ X, тобто |Y_i| = r для якогось r ∈ ℕ, і лінійною оболонкою множини X буде об'єднання всіх множин <Y_i>.

Приклад

Залишимось в улюбленому векторному просторі ℝ³. Оберемо одноелементну множину X₁ = {(1; 2; 1)} і запитаємо, яка лінійна оболонка цієї множини. Це всі лінійні комбінації вектора (1; 2; 1). Отримана оболонка матиме вигляд

$$ \left<X_1\right> = \left\{(a; 2a; a)|a\in \mathbb{R}\right\} $$

Це будуть вектори виду (3; 6; 3),(8; 16; 8),(−1; −2; −1) тощо. Можемо перевірити, що сума деяких двох векторів дає новий вектор такого самого виду:

$$\begin{eqnarray} (3; 6; 3)+(3; 6; 3)&=&(6; 12; 6)\\ (3; 6; 3)+(-1; -2; -1)&=&(2; 4; 2)\\ (8; 16; 8)+(2; 4; 2)&=&(10; 20; 10) \end{eqnarray}$$

Другим прикладом можуть бути класичні вектори X₂ = {(1; 0; 0), (0; 1; 0)}. Якщо обчислити всі лінійні комбінації, побачимо, що вони мають вигляд (a; b; 0), де a, b ∈ ℝ. Це легко показати, бо

$$(a; b; 0) = a \cdot (1; 0; 0) + b \cdot (0; 1; 0).$$

Векторами цієї оболонки є, наприклад, (0; 8; 0), (14; 15; 0) тощо. Формально це запишемо так:

$$ \left<X_2\right> = \left\{(a; b; 0) | a,b \in \mathbb{R}\right\} $$

Лінійна оболонка як найменший підпростір

Нехай дано векторний простір V і якусь множину векторів X ⊆ V. Лінійна оболонка <X> тоді є підпростором простору V, тобто оболонка <X> є векторним простором.

Достатньо довести, що оболонка <X> замкнена відносно додавання та множення. Це, звісно, так, бо будь-який вектор $\vec{x} \in \left<X\right>$ утворений як лінійна комбінація векторів із X.

Лінійна оболонка множини X є водночас найменшим підпростором, який містить усі вектори з множини X. Чому? Найменший векторний підпростір, що містить вектори з X, має містити й усі лінійні комбінації векторів із X — інакше це не був би векторний простір. Можемо від супротивного допустити, що існує якийсь менший векторний підпростір, позначимо його Y, який містить усі вектори з X, тобто X ⊆ Y. Оскільки за припущенням Y менший за оболонку <X>, то має існувати вектор $\vec{x}$, який належить <X>, але не належить Y, тобто $\vec{x}\in\left<X\right> \wedge \vec{x}\notin Y$.

Проте вектор $\vec{x}$ можна скласти як лінійну комбінацію векторів із X, тому мають існувати вектори $\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n\in X$ і коефіцієнти a₁, …, a_n такі, що

$$ \vec{x}=a_1 \cdot \vec{x}_1 + \ldots + a_n \cdot \vec{x}_n $$

Але якщо Y не містить цього вектора $\vec{x}$ і водночас містить вектори $\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n$, то Y не може бути векторним простором, а отже, і підпростором. Тож оболонка <X> є найменшим підпростором, що містить усі вектори з X.

Основні властивості лінійної оболонки

• Завжди W ⊆ <W>. Це має бути зрозуміло. Лінійна оболонка множини W завжди збігається з множиною W або більша за неї. Оскільки лінійна оболонка <W> містить усі лінійні комбінації векторів із W, то <W> має містити й усі вектори з W, бо якщо взяти якийсь вектор $\vec{x} \in W$, то для a = 1 отримаємо комбінацію $a \cdot \vec{x} = \vec{x}$.

  Приклад: лінійна оболонка множини W = {(1; 0; 0)} — це множина

  $$\begin{eqnarray} \left<W\right> &=& \left\{(a; 0; 0),|,a\in \mathbb{R}\right\}. \end{eqnarray}$$

  Очевидно, що {(1; 0; 0)} ⊆ {(a; 0; 0),|,a∈ ℝ}.

• Завжди <W> = <<W>>. Якщо вже один раз знайшли лінійну оболонку, то лінійна оболонка цієї оболонки — та сама оболонка. <W> містить усі лінійні комбінації з W. Якби ми ще раз обчислили всі лінійні комбінації з <W>, нових не отримали б.

• Нехай дано якийсь векторний простір V і дві підмножини цього простору (не обов'язково підпростори) W₁ та W₂, тобто W₁, W₂ ⊆ V. Якщо при цьому W₁ ⊆ W₂, то й <W₁> ⊆ <W₂>.

  Інакше кажучи: якщо маємо дві множини векторів, одна з яких менша, то ця менша множина векторів має меншу або таку саму лінійну оболонку, як більша множина.

  Приклад: нехай W₁ = {(1; 0; 0)} і W₂ = {(1; 0; 0), (0; 1; 0)}. Бачимо, що W₁ ⊆ W₂. Якими будуть лінійні оболонки?

  $$\begin{eqnarray} \left<W_1\right> &=& \left\{(a; 0; 0),|,a\in \mathbb{R}\right\}\\ \left<W_2\right> &=& \left\{(a; b; 0),|,a,b\in \mathbb{R}\right\}\\ \end{eqnarray}$$

  Множина векторів W₂ «породила більшу оболонку», ніж множина W₁, чого ми й очікували. Множина W₂ містить усі вектори з множини W₁, тож усі лінійні комбінації векторів із W₁ можна водночас породити з векторів у W₂.

  Інший приклад: W₃ = {(1; 2; 0)} і W₄ = {(1; 2; 0), (5; 10; 0)}. З першого погляду видно, що вектори у W₄ залежні. Тому обидві множини породжують однакову оболонку. Отже, хоча W₃ ⊂ W₄, маємо <W₃> = <W₄>.