Розмірність векторного простору

Розмірність векторного простору дорівнює кількості елементів базису цього векторного простору. Якщо базис нескінченний, то кажемо, що й розмірність нескінченна.

Означення розмірності векторного простору

Нехай дано векторний простір V і якийсь його базис B. Тобто B ⊆ V, множина B містить лінійно незалежні вектори, а лінійна оболонка множини B дорівнює простору V: <B> = V.

Якщо базис B має скінченну кількість елементів n, то кажемо, що розмірність простору V дорівнює n. Розмірність позначаємо $\dim$, тож $\dim V = |B| = n$. Якщо базис B нескінченний, кажемо, що розмірність простору також нескінченна. Оскільки всі базиси простору завжди мають однакову кількість елементів, то неважливо, який базис взяти.

Приклад: простір ℝ³ має базис (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1). Загалом це три вектори, тобто $\dim \mathbb{R}^3 = 3$. У загальному випадку можна сказати, що $\dim \mathbb{R}^n = n$.

Якщо простір V має розмірність n, говоримо про n-вимірний векторний простір.

Властивості розмірності векторного простору

• Нехай дано векторний простір V і якийсь його підпростір W ⊆ V. Тоді $\dim W \le \dim V$.
• Нехай дано векторний простір V скінченної розмірності і якийсь його підпростір W ⊂ V. Тоді $\dim W < \dim V$. Відмінність цього пункту в тому, що ми не допускаємо W = V. Тобто якщо підпростір W менший за V, то він матиме й меншу розмірність. Чому? Тому що існує вектор $\vec{x} \in V \setminus W$, який не є лінійною комбінацією векторів із W, а отже, не є лінійною комбінацією векторів жодного базису W.
• Якщо простір V має розмірність n, то будь-які n лінійно незалежних векторів утворюють базис простору V. Множина з n + 1 векторів утворює лінійно залежну множину векторів.