Векторний підпростір

Векторний підпростір — це підмножина якогось векторного простору, яка й надалі замкнена відносно додавання та множення на скаляр.

Означення

Нехай маємо якийсь векторний простір V. Векторним підпростором W тоді була б певна підмножина простору V, причому множина W сама була б векторним простором. Непорожня підмножина W ⊆ V має тому задовольняти ці дві умови, щоб бути векторним підпростором простору V: для всіх $\vec{x}, \vec{y} \in W$ і для кожного a ∈ ℝ:

• $\vec{x}+\vec{y} \in W$,
• $a\cdot \vec{x} \in W$.

Тож треба вибрати з V таку підмножину, щоб її вектори були замкнені відносно додавання й множення.

Підпростір простору R³

Візьмімо простір ℝ³ і знайдімо якийсь підпростір.

1. Що, наприклад, з усіма трійками вигляду (a; a; a), де a∈ ℝ? Тобто з трійками на кшталт $\left(1; 1; 1\right), \left(\frac12; \frac12; \frac12\right)$ чи (−π; −π; −π). Такий підпростір, позначимо його W₁, був би підмножиною простору ℝ³, тобто W₁⊆ ℝ³, бо ℝ³ містить усі трійки.

Такий простір був би замкнений відносно операції додавання векторів, бо

$$\left(a;a;a\right)+\left(b;b;b\right)=\left(a+b; a+b;a+b\right).$$

Після додавання двох векторів ми отримали б новий вектор, який знову мав би три однакові компоненти, а такий вектор належить множині W₁. Отже, множина W₁ задовольняє першу умову векторного підпростору. А чи задовольняє вона другу?

Так, задовольняє, бо добуток на число k знову змінює всі три компоненти вектора, але змінює їх цілком однаково:

$$k\cdot\left(a;a;a\right)=\left(k\cdot a;k\cdot a;k\cdot a\right).$$

Знову отримуємо вектор, у якого всі три компоненти однакові, а такий вектор належить множині W₁. Отже, множина W₁ є векторним підпростором ℝ³.

• Можемо спробувати взяти всі трійки (a; b; c) такі, що a, b, c ∈ [−1; 1]. Цю множину позначимо W₂, а її елементами є, наприклад, трійки $\left(\frac12; -\frac27; \frac89\right)$ або $\left(0; \frac{\pi}{4}; 1\right)$. Чи замкнені елементи W₂ відносно додавання? Звісно, ні, бо $\left(1; 1; 1\right)+\left(\frac12; \frac13; \frac14\right)$ дорівнює трійці $\left(\frac32; \frac43; \frac54\right)$, яка не належить до W₂. Отже, множина W₂ не утворює підпростору простору ℝ³, і множина W₂ узагалі не утворює простору.

• Тепер візьмімо всі трійки вигляду (a; 0; b), де a, b∈ ℝ. Це всі трійки, у яких друга компонента нульова. Позначимо цю множину W₃. Чи замкнена ця множина відносно додавання? Так, бо

$$\left(a; 0; b\right)+\left(c; 0; d\right)=\left(a+c; 0; b+d\right)$$

Результатом є трійка (a + c; 0; b + d), у якої друга компонента нульова, а на двох інших стоять дійсні числа. Ця трійка, безперечно, належить W₃. Чи замкнена W₃ відносно множення? Так, бо

$$k\cdot\left(a; 0; b\right)=\left(k\cdot a; 0; k\cdot b\right)$$

Знову отримуємо трійку (k · a; 0; k · b), у якої друга компонента завжди нульова, а решта компонент — дійсні числа. Така трійка є елементом W₃. Отже, множина W₃ утворює підпростір простору ℝ³. Зауважмо, що якби трійки мали вигляд (a; b; 0) або (a; 0; 0), вони б так само утворювали векторний підпростір.

Підпростір многочленів

У попередній статті ми розглянули векторний простір, що складається з многочленів. Нагадаємо: многочлен — це вираз вигляду

$$p(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_n x^n.$$

Припускаємо, що a_n≠0. Степенем такого многочлена тоді є саме число n. Дійсні числа a₀, …, a_n називаємо коефіцієнтами многочлена. Прикладом многочлена може бути вираз 4 + 3x − 7x². Спробуємо знайти якийсь векторний підпростір. Нехай маємо векторний простір P(x) усіх многочленів.

1. Спершу спробуємо множину всіх многочленів степеня n, де n≥0, позначимо цю множину W₁. У попередній статті ми вже зазначали, що це взагалі не векторний простір, тож навряд чи це буде векторний підпростір простору P(x). Нагадаймо: якщо, наприклад, помножити многочлен із W₁ на нуль, отримаємо многочлен p(x) = 0, який за означенням має степінь −1. Цього елемента, безперечно, нема в жодній множині W₁.

2. Спробуємо як W₂ взяти всі многочлени степеня n і менших. Тож для n = 2 у W₂ будуть усі многочлени степенів 2, 1, 0, −1. Чи замкнена ця множина відносно додавання? Так, бо степінь суми двох многочленів степеня n ніколи не буде більшим за n, він може бути лише меншим. Так само ця множина замкнена відносно множення, бо добуток будь-якого многочлена p(x) на число k може дати або многочлен того самого степеня, або нульовий многочлен. Обидві можливості охоплює множина W₂, тож W₂ утворює підпростір простору P(X).

Основні властивості підпросторів

Нехай маємо векторний простір V і два його підпростори W₁ та W₂. Тоді виконується, що

1. Перетин W₁ ∩ W₂ є векторним підпростором V.

   Нехай маємо векторний простір ℝ³ і підпростори W₁ та W₂ такі, що W₁ складається з трійок вигляду (a; b; 0), а W₂ — з трійок вигляду (a; 0; b), де a, b ∈ ℝ. Перетином W₁ ∩ W₂ тоді буде множина, що містить трійки вигляду (a; 0; 0) — така множина, очевидно, є підпростором простору ℝ³.

   Але це, звісно, не доведення. Доведення виглядало б так: візьмемо довільний векторний простір V і два його підпростори W₁ та W₂. Тепер хочемо довести, що для всіх $\vec{x}, \vec{y} \in W_1\cap W_2$ виконується $\vec{x}+\vec{y}\in W_1\cap W_2$.

   Оскільки вектори $\vec{x}$ та $\vec{y}$ містяться в перетині W₁∩ W₂, то обов'язково має виконуватися $\vec{x}, \vec{y}\in W_1$ і водночас $\vec{x}, \vec{y} \in W_2$ (це випливає з означення перетину множин). Оскільки W₁ і W₂ водночас є векторними просторами, має також виконуватися $\vec{x}+\vec{y}\in W_1$ і водночас $\vec{x}+\vec{y}\in W_2$ (це випливає з означення векторних просторів). Тепер маємо, що $\vec{x}+\vec{y}\in W_1$ і водночас $\vec{x}+\vec{y}\in W_2$, звідки випливає, що $\vec{x}+\vec{y}\in W_1\cap W_2$ (знову на підставі означення перетину множин — якщо елемент лежить у множині W₁ і лежить також у множині W₂, він має лежати і в їхньому перетині).

   Далі треба перевірити замкненість відносно множення. Маємо довести, що для всіх k∈ ℝ і $\vec{x}\in W_1\cap W_2$ виконується $k\cdot \vec{x}\in W_1\cap W_2$. Міркування те саме. Оскільки $\vec{x}\in W_1\cap W_2$, то водночас $\vec{x}\in W_1$ і $\vec{x}\in W_2$. Оскільки W₁ і W₂ є просторами, то $k\cdot \vec{x}\in W_1$ і водночас $k\cdot \vec{x} \in W_2$, а отже, k · x ∈ W₁ ∩ W₂. $\Box$

2. Об'єднання W₁ ∪ W₂ не обов'язково є підпростором V.

   Щоб довести другу властивість, досить знайти відповідний контрприклад. Скористаємося попередніми просторами W₁ і W₂, які мають трійки вигляду (a; b; 0) та (a; 0; b) відповідно. Якщо взяти їхнє об'єднання, отримаємо всі трійки, які мають нуль на другому або на третьому місці. Тож вектори (1; 0; 1) і (1; 1; 0) безперечно належать до об'єднання W₁ ∪ W₂. Проте їхня сума дорівнює вектору (2; 1; 1), у якого нуля немає ніде. Цей вектор не належить ні W₁, ні W₂, тож не може належати й W₁ ∪ W₂. Отже, ми знайшли два вектори, сума яких не належить до тієї самої множини, тому це не може бути векторний простір.