Лінійне рівняння з параметром

Лінійне рівняння може містити параметр, який зазвичай позначають літерою p. Наша мета — дослідити, які розв'язки має лінійне рівняння залежно від параметра p.

Мотивація

Спробуй розв'язати таку задачу. Уяви, що в тебе є власний роман «Як Котигорошко з Кирилом Кожум'якою Лісовика з лісу виганяли», який ти хочеш надрукувати книжкою та подарувати знайомим. На це в тебе є 10 000 грн. Ціна така: основна плата становить сто гривень за книжку, а крім того, платимо гривню за кожну сторінку. У романі 300 сторінок. Скільки книжок можна собі дозволити?

Це проста задача на лінійні рівняння. Складемо рівняння так: невідоме x буде кількістю книжок, які можна замовити. Отримуємо рівняння: (100 + 300)x = 10 000. Вираз у дужках — це ціна однієї книжки (100 — основна плата, 300 — вартість сторінок). Розв'яжемо рівняння:

$$\begin{eqnarray} (100+300)x&=&10 000\\ 400x&=&10 000\\ x&=&\frac{10 000}{400}\\ x&=&25 \end{eqnarray}$$

Можна дозволити собі купити 25 книжок. Проте ціна за сторінку завелика, тож знизимо її до 0,8 гривні. Скільки книжок вийде тепер? Знову складемо рівняння: (100 + 300 · 0,8)x = 10 000 і розв'яжемо:

$$\begin{eqnarray} (100+300\cdot0{,}8)x&=&10 000\\ (100+240)x&=&10 000\\ 340x&=&10 000\\ x&=&\frac{10 000}{340}\\ x&\approx&29 \end{eqnarray}$$

Можна купити 29 книжок. Правду кажучи, за такого чималого обсягу сторінок ми, мабуть, могли б попросити невеличку знижку на кожну сторінку, чи не так? Може, лише 60 копійок, тобто 0,6 гривні? Гаразд. Тоді порахуємо, скільки книжок вийде.

Ти, певно, здогадуєшся, що так можна змінювати ціну до нескінченності. Як елегантно це розв'язати? За допомогою параметра — ще однієї літери, яка позначатиме ціну за одну сторінку нашої книжки. Цей параметр позначимо літерою p. Щоб обмежити його, скажімо, що ціна за сторінку лежить у проміжку (0; 1] гривні. Вона не дорівнюватиме нулю — задарма нам ніхто друкувати не буде, — і ніхто не братиме дорожче за гривню за сторінку. Як тоді виглядатиме рівняння?

$$(100+300p)x=10 000$$

Це узгоджується з нашим уявленням про ціну: сто гривень — основна плата, вона ніяк не змінюється. А вартість 300 сторінок обчислимо, помноживши ціну за сторінку, тобто параметр p, на триста. Який розв'язок має рівняння? Треба виразити x:

$$\begin{eqnarray} (100+300p)x=10 000\\ x=\frac{10 000}{100+300p} \end{eqnarray}$$

Ось і все. Тепер досить знати ціну за сторінку, щоб обчислити, скільки книжок вийде. Якби ціна за сторінку становила двадцять копійок, то після підстановки замість p маємо:

$$x=\frac{10 000}{100+300\cdot0{,}2}=\frac{10 000}{100+60}=\frac{10 000}{160}\approx62$$

Ми купили б 62 книжки. Це вже досить непогано.

Загальне рівняння з параметром

У загальному рівнянні з параметром ми намагаємося з'ясувати, які розв'язки має рівняння залежно від значення параметра. Прикладом такого рівняння може бути:

$$(2p+2)x-6=0$$

Спершу з'ясуємо, коли з такого рівняння зникає невідоме x. Це відбувається тоді, коли коефіцієнт при невідомому дорівнює нулю, тобто коли 2p + 2 = 0. Розв'яжемо це рівняння й отримаємо:

$$\begin{eqnarray} 2p+2&=&0\\ 2p&=&-2\\ p&=&-1 \end{eqnarray}$$

Якщо параметр p дорівнює мінус одиниці, то з рівняння випадає невідоме x і виходить рівняння −6 = 0. Це рівняння не має жодного розв'язку.

Тепер ще обчислимо розв'язок у випадку, коли p≠ − 1. Розв'язуємо звичайним способом, лише отримуємо не «остаточний» розв'язок, а розв'язок, що залежить від параметра p. Виразимо x:

$$\begin{eqnarray} (2p+2)x-6&=&0\quad/+6\\ (2p+2)x&=&6\quad/:(2p+2)\\ x&=&\frac{6}{2p+2}\\ x&=&\frac{3}{p+1} \end{eqnarray}$$

Це остаточний результат. Якщо p≠ − 1, то корінь рівняння дорівнює дробу 3/(p + 1).