Лінійне рівняння з модулем

Модуль — це функція, яка не змінює невід'ємного числа, а з від'ємного робить додатне. Модуль може траплятися під час розв'язування лінійних рівнянь.

Повторення

Нагадаймо, як модуль обчислюється й записується. Вираз під знаком модуля записуємо між вертикальними рисками так: |a|. Читаємо: «модуль числа a». Тоді модуль невід'ємного числа дорівнює самому цьому числу. Приклади: |3| = 3, |64| = 64, |π| = π. Натомість модуль від'ємного числа — число додатне: $|-7|=7, |-\pi|=\pi, |-\frac12|=\frac12$. Модуль нуля дорівнює нулю.

Простий приклад

Прикладом простого лінійного рівняння з модулем є рівняння |x| = 3. Постає питання: коли модуль дорівнює трьом? Таких x буде два — одне додатне, а друге від'ємне, тож рівняння має два розв'язки. Перший дорівнює x₁ = 3, бо |3| = 3. Другий розв'язок дорівнює x₂ = −3, бо |−3| = 3.

Спробуймо ускладнити рівняння: |2x + 1| = 5. Під модулем тепер складніший вираз, але діяти можна так само, як щойно. Які числа мають модуль, що дорівнює п'яти? Знову 5 і −5. Що з цього випливає? Те, що вираз під модулем, тобто 2x + 1, має дорівнювати п'яти або мінус п'яти. Тільки тоді рівняння має розв'язок. Отже, розв'язуємо рівняння 2x + 1 = 5 та 2x + 1 = −5. Це звичайні лінійні рівняння. Отримуємо:

$$\begin{eqnarray} 2x+1&=&5\\ 2x&=&4\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$

А другий результат:

$$\begin{eqnarray} 2x+1&=&-5\\ 2x&=&-6\\ x&=&-3 \end{eqnarray}$$

Маємо два розв'язки: x₁ = 2 і x₂ = −3. Можна перевірити їх підстановкою в початкове рівняння. Для x = 2 отримуємо: |2 · 2 + 1| = |4 + 1| = |5| = 5, а для x = −3 маємо: |2 · (−3)+1| = |−6 + 1| = |−5| = 5.

Розкриття модуля

Попередній спосіб важко застосувати, коли рівняння складніше. Наприклад, таке:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Тут уже два вирази під модулем, тож потрібен інший підхід. Спершу трохи простіший приклад: що буде з виразом |x − 2|, якщо брати x з проміжку (2; +∞)? Вираз під модулем завжди буде додатним. Якщо підставити, наприклад, трійку, отримаємо 3 − 2 = 1. Якщо підставити десятку, матимемо 10 − 2 = 8 і так далі. Для будь-якого числа з цього проміжку вираз під модулем додатний. Як тоді модуль змінює значення? Ніяк. Це важливе спостереження. Якщо вираз під модулем завжди додатний, модуль можна прибрати — він там зайвий. Якщо x береться з проміжку (2; +∞), то правильна рівність |x − 2| = x − 2 (тобто ми розкрили модуль).

А тепер протилежний випадок: що, коли x брати з проміжку (−∞; 2)? Яким буде значення виразу під модулем, тобто виразу x − 2? Воно завжди буде від'ємним! Спробуємо підставити одиницю: 1 − 2 = −1, або нуль: 0 − 2 = −2. Що модуль робить із цим значенням? Перевертає його в додатне, тобто змінює знак. Змінити знак можна множенням на мінус одиницю, адже 5 · (−1) = −5, але також −7 · (−1) = 7 і −15 · (−1) = 15.

Отже, якщо x береться з проміжку (−∞; 2), вираз під модулем завжди від'ємний, і модуль «спрацьовує» та змінює знак виразу — множить його на −1. Тому для x з (−∞; 2) можна записати рівність: |x − 2| = −(x − 2). Перевіримо її, підставивши, наприклад, нуль. Спершу у вираз із модулем: |0 − 2| = |−2| = 2, а тепер у праву частину: −(0 − 2) = −(−2) = 2.

Як бачимо, такі проміжки дають змогу розбити вираз із модулем на два різні вирази, які можна розв'язувати зовсім окремо. Це зручно. Лишається питання: як шукати ці проміжки?

Метод нулів підмодульних виразів

Коли вираз x − 2 змінював знак? З попередньої частини знаємо, що на всьому проміжку (−∞; 2) він від'ємний, а на всьому проміжку (2; +∞) — додатний. Яким він є в точці x = 2? Підставивши, дізнаємося, що 2 − 2 = 0, тобто він дорівнює нулю. Це не випадковість. Причину найкраще видно на графіку лінійної функції:

Графіком лінійної функції є пряма, яка може перетнути вісь Ox лише раз, і якщо перетинає, то змінює знак. Тому, якщо лінійна функція перетинає вісь Ox у точці a, то на проміжку (−∞; a) вона має інший знак, ніж на проміжку (a; +∞).

Отже, щоб знайти проміжки, де лінійна функція додатна, а де від'ємна, досить знайти так званий нуль функції, тобто точку x₀, у якій значення лінійної функції f дорівнює нулю: f(x₀) = 0. Тож, якщо шукаємо проміжки, на яких вираз x − 2 додатний, спершу розв'язуємо рівняння x − 2 = 0. Розв'язок: x = 2. Тоді можна утворити проміжки: (−∞; 2) і (2; +∞). На цих проміжках далі розв'язуємо рівняння, але вже з розкритим модулем.

Нарешті повернімося до прикладу…

Багато рядків тому ми розглянули приклад:

$$|4x+2|+|x-1|=6$$

Як його розв'язати? Спершу знайдемо нулі кожного виразу під модулем, тобто виразів 4x + 2 і x − 1. Вираз 4x + 2 має нуль $x=-\frac12$, а вираз x − 1 — нуль x = 1. Оскільки маємо дві точки, отримаємо загалом три проміжки. Кожна точка якось ділить проміжок (−∞; +∞). Отже, маємо проміжки $(-\infty; -\frac12)$, $\left[-\frac12; 1\right]$ і (1; +∞). Проміжки завжди добираємо так, щоб покрити весь проміжок (−∞; +∞).

На наступному кроці треба з'ясувати, чи додатні, чи від'ємні вирази на цих проміжках. У цьому допоможе таблиця:

$$ \Large \begin{matrix} x&(-\infty; -\frac12)&\left[-\frac12; 1\right]&(1; +\infty)\\\hline 4x+2&-&+&+\\ x-1&-&-&+ \end{matrix} $$

Знак мінус − означає, що вираз на цьому проміжку від'ємний, а знак плюс + — що він додатний. Як ми до цього дійшли? Підставили довільне число з проміжку. Наприклад, у середній проміжок можна було підставити нуль, що найпростіше для обчислень. Тоді для виразу 4x + 2 отримуємо 4 · 0 + 2 = 2, а для x − 1 маємо 0 − 1 = −1.

Порада: якщо на першому проміжку вираз від'ємний, а на наступному додатний, то на кожному можливому подальшому проміжку він знову буде додатним. Лінійна функція не може двічі змінити знак — дивись рисунок із графіком лінійної функції вище.

Тепер ми знаємо, на яких проміжках які вирази додатні чи від'ємні. Подальше обчислення розбивається на три кроки: на кожному проміжку розв'язуємо окремо.

Перший проміжок, тобто x беремо з $(-\infty; -\frac12)$. На цьому проміжку обидва вирази від'ємні, тому щоб розкрити модуль, обидва вирази мають змінити знак. Отже, на цьому проміжку розв'язуємо рівняння:

$$-(4x+2)-(x-1)=6$$

Це рівняння просто розв'язуємо за допомогою рівносильних перетворень:

$$\begin{eqnarray} -(4x+2)-(x-1)&=&6\\ -4x-2-x+1&=&6\\ -5x-1&=&6\\ -5x&=&7\\ x&=&-\frac{7}{5} \end{eqnarray}$$

Зверни увагу: треба перевірити, чи належить розв'язок проміжку, у якому ми працюємо. Адже ми припускаємо, що x береться з проміжку $(-\infty; -\frac12)$, тож якщо вийде розв'язок, який не належить цьому проміжку, використати його не можна. Мінус сім п'ятих лежить у проміжку $(-\infty; -\frac12)$, отже, це розв'язок рівняння.

Другий проміжок, тобто x беремо з $\left[-\frac12; 1\right]$. На цьому проміжку вираз 4x + 2 додатний, а вираз x − 1 усе ще від'ємний. Тому розв'язуємо рівняння

$$4x+2-(x-1)=6$$

Знову просто спрощуємо:

$$\begin{eqnarray} 4x+2-(x-1)&=&6\\ 4x+2-x+1&=&6\\ 3x+3&=&6\\ 3x&=&3\\ x&=&1 \end{eqnarray}$$

Чи належить розв'язок проміжку, у якому ми працюємо? Так, належить. Ми знайшли ще один розв'язок лінійного рівняння.

Третій проміжок, тобто проміжок (1; +∞). На цьому проміжку обидва вирази додатні, тож модуль можна прибрати без жодних змін. Отже, розв'язуємо рівняння:

$$4x+2+x-1=6$$

Це рівняння легко розв'язати:

$$\begin{eqnarray} 4x+2+x-1=6\\ 5x+1=6\\ 5x=5\\ x=1 \end{eqnarray}$$

Отримали ще один результат, такий самий, як на попередньому проміжку. Але чи це розв'язок на проміжку, де ми працюємо? Ні! Ми працюємо на відкритому проміжку (1; +∞), одиниця йому не належить, тож цей розв'язок, знайдений на третьому кроці, не можна зараховувати до розв'язків.

Лінійне рівняння з модулем має два розв'язки.

Відповідь: $x_1=-\frac75$, x₂ = 1.

Графічний розв'язок

Як і звичайне лінійне рівняння, це теж можна розв'язати графічно. Зліва маємо функцію f(x) = |4x + 2|+|x − 1|, а справа — g(x) = 6. Побудуємо ці два графіки — вони перетнуться у двох точках. Абсциси цих точок є розв'язками рівняння.

Отже, розв'язками є абсциси точок перетину: $x_1=-\frac75$ і x₂ = 1, тобто $x \in \left\{-\frac75; 1\right\}$.