Лінійне рівняння зі змінною в знаменнику

Лінійне рівняння, що містить дроби і має в знаменнику якісь змінні, розв'язують подібно до звичайного лінійного рівняння. На першому кроці зводимо рівняння до загального вигляду, а потім розв'язуємо його класично.

Коли в знаменнику лише x

Найпростіший тип такого рівняння — коли знаменник містить змінну x і більше нічого. Прикладом буде рівняння:

$$\frac{10}{x}=5$$

Очевидно, що розв'язком рівняння буде x = 2. Але як розв'язати його формально, загалом? Змінна в знаменнику нам не подобається, її треба позбутися, бо з нею не можна розумно маніпулювати. Питання в тому, як позбутися x у знаменнику.

Уяви дріб у вигляді

$$\frac{a}{b}$$

На який вираз треба помножити дріб, щоб позбутися дробу? Щоб вираз мав уже не вигляд частки, а вигляд добутку? На що треба помножити одну третину (тобто 1/3), щоб отримати якесь ціле число? Треба помножити її на знаменник дробу (або на його кратне). Якщо дріб помножити на його знаменник, отримаємо дріб

$$\frac{a\cdot b}{b}$$

у якому вже можна скоротити початковий знаменник b і отримати лише значення a. Повернімося до прикладу з третиною: якщо помножити одну третину на три, що отримаємо? Отримаємо три треті, тобто число один. А що отримаємо, якщо помножимо одну шосту на шість? Шість шостих, тобто один. А що отримаємо, якщо помножимо три сьомі на сім? Отримаємо 3 · 7 = 21 двадцять одну сьому, а це три.

Отже, просто помножимо все рівняння на змінну x, що є значенням знаменника. Чи можна це зробити? Відповідь: можна. Значення x могло б дорівнювати нулю, бо ми припускаємо, що x належить множині дійсних чисел, але з області допустимих значень (ОДЗ) рівняння маємо x≠0, бо x стоїть у знаменнику дробу, а ділити на нуль не можна. Тож це рівносильне перетворення рівнянь.

Добре, отже, помножимо рівняння на невідому x. Що отримаємо?

$$\begin{eqnarray} \frac{10}{x}&=&5\\ x\cdot\frac{10}{x}&=&x\cdot5\\ \frac{10x}{x}&=&5x \end{eqnarray}$$

Що можемо зробити тепер? У дробі можна скоротити x. З дробу 10x/x залишиться лише 10: 10 = 5x. І вже зараз це можна розв'язувати як класичне лінійне рівняння. Результат: x = 2.

Чи має це якийсь інтуїтивний зміст? Авжеж. Уяви рівняння вигляду:

$$\frac{x}{2}=10$$

Що каже нам це лінійне рівняння? Що половина x дорівнює десяти. Але якщо взяти дві половини x, то вони мають дорівнювати двадцяти. При цьому дві половини x дорівнюють одному цілому x.

Складніший вираз у знаменнику

У знаменнику може бути складніший вираз, ніж лише x. Розв'яжи рівняння:

$$\frac{5}{x+2}=10$$

Як розв'язувати це рівняння? Як позбутися дробу? У попередній частині ми помножили рівняння на знаменник — так і позбулися дробу. У цьому випадку діємо цілком так само. Якщо помножити рівняння на вираз x + 2, то вираз x + 2 опиниться в чисельнику дробу, і його можна буде гарно скоротити. Множимо:

$$\begin{eqnarray} \frac{5}{x+2}&=&10\quad/\cdot(x+2)\\ (x+2)\cdot\frac{5}{x+2}&=&(x+2)\cdot10\\ \frac{(x+2)\cdot5}{x+2}&=&10\cdot(x+2)\quad/\mbox{скорочуємо } (x+2)\\ 5&=&10\cdot(x+2) \end{eqnarray}$$

Тепер ми позбулися дробу, і вже залишилося лише розкрити дужки та дорахувати результат.

$$\begin{eqnarray} -10x-15&=&0\\ x&=&-\frac32 \end{eqnarray}$$

Кілька дробів

Ситуація може значно ускладнитися, якщо в рівнянні кілька дробів і кілька виразів у знаменниках. Приклад:

$$\frac{5}{x+2}=\frac{4}{x+3}$$

Як розв'язувати це рівняння? Маємо два дроби з різними знаменниками, в обох є змінна x. Вихід у тому, щоб помножити рівняння на обидва знаменники. Це можна робити або послідовно, або одночасно. Якщо робити послідовно, обчислення виглядатиме так. Почнемо з множення на (x + 2).

$$\begin{eqnarray} \frac{5}{x+2}&=&\frac{4}{x+3}\quad/\cdot(x+2)\\ \frac{5(x+2)}{x+2}&=&\frac{4(x+2)}{x+3}\\ 5&=&\frac{4(x+2)}{x+3} \end{eqnarray}$$

А тепер ще помножимо рівняння на другий знаменник, (x + 3):

$$\begin{eqnarray} 5&=&\frac{4(x+2)}{x+3}\quad/\cdot(x+3)\\ 5(x+3)&=&\frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)&=&4(x+2) \end{eqnarray}$$

Тепер лише розкриємо дужки та дорахуємо результат:

$$\begin{eqnarray} 5x+15&=&4x+8\\ x&=&-7 \end{eqnarray}$$

Другий спосіб — помножити рівняння на обидва знаменники одночасно. Тобто на початку помножимо рівняння на вираз (x + 2)(x + 3). Отримаємо:

$$\begin{eqnarray} \frac{5}{x+2}&=&\frac{4}{x+3}\quad/\cdot(x+2)(x+3)\\ \frac{5(x+2)(x+3)}{x+2}&=&\frac{4(x+2)(x+3)}{x+3}\\ 5(x+3)&=&4(x+2) \end{eqnarray}$$

Так робити можна, бо якщо помножити рівняння на вираз a, а потім на вираз b, то це те саме, що помножити його на вираз a · b.