Орієнтований кут

Сторони кута ділять площину на два неорієнтовані кути: один більший, а другий менший (якщо вони не однакові). Щоб було зрозуміло, про який кут ідеться, вводять поняття орієнтованого кута.

Навіщо вводити орієнтований кут

Подивися на наступний рисунок, де позначено кут AVB.

Тепер питання: який із кутів маємо на увазі? Інтуїтивно ти, мабуть, припускаєш, що йдеться про менший кут, але так само добре можна говорити й про більший. Два різні кути, утворені двома однаковими променями, показано на наступному рисунку:

Без додаткової інформації ми не можемо сказати, чи під позначенням кута AVB маємо на увазі кут альфа, чи бета. Щоб домовитися, про який кут насправді йдеться, і виникло поняття орієнтованого кута.

Додатний і від'ємний напрямок

Орієнтований кут допомагає уточнити, який саме кут ми маємо на увазі. Для цього треба означити дві речі. Передусім сторони кута потрібно називати в правильному порядку. Так ми розрізняємо кути AVB і BVA, хоча сторони в них однакові — промені VA і VB. Якщо маємо кут AVB, то промінь VA називають початковою стороною орієнтованого кута, а промінь VB — кінцевою стороною орієнтованого кута. Спільну точку V називають вершиною орієнтованого кута.

Добре, ми вже знаємо, що порядок сторін кута має значення. Але досі не знаємо, у який бік рухатися, щоб отримати кут AVB. Адже кут AVB міг утворитися двома напрямками, як показано на наступному рисунку:

Початкова сторона кута — промінь VA. Від нього можна відкласти кут у двох напрямках; на рисунку їх позначено зеленою стрілкою та червоними стрілками. Напрямки можна назвати звичним способом, за годинниковою стрілкою: зелений напрямок — проти годинникової стрілки, а червоний — за годинниковою стрілкою.

Проте в математиці для цих напрямків користуються іншими назвами: додатний і від'ємний напрямок. Додатний напрямок відповідає зеленій стрілці, тобто руху проти годинникової стрілки. Від'ємний напрямок відповідає червоній стрілці, тобто руху за годинниковою стрілкою.

Наочно це показано на наступному рисунку:

Що таке орієнтований кут

Орієнтований кут — це впорядкована пара променів зі спільним початком. Орієнтований кут можна було б записувати як пару променів, наприклад так:

$$\left(\overrightarrow{VA}; \overrightarrow{VB}\right),$$

але коротший запис такий: $\widehat{AVB}$. Крім того, якщо промені VA і VB різні, то різними є й кути $\widehat{AVB}$ та $\widehat{BVA}$.

Тепер означимо головну величину орієнтованого кута. Головна величина орієнтованого кута $\widehat{AVB}$ дорівнює величині неорієнтованого кута, який утворюється поворотом початкової сторони VA до положення кінцевої сторони VB у додатному напрямку, тобто проти годинникової стрілки.

Величина головного кута завжди належить проміжку $[0^\circ; 360^\circ)$. Зверни увагу, що проміжок справа відкритий. Головний кут не може дорівнювати 360 градусам. Такий кут збігається з кутом величиною нуль градусів, тому замість 360 градусів пишемо нуль градусів. Якщо працюємо в радіанній мірі, то кут належить проміжку [0; 2π).

Окрім головної величини, існує також просто величина орієнтованого кута. Її означають так само, але ця величина може бути більшою за головну. Адже якщо ми будуємо кут і робимо повний оберт, а потім рухаємо початкову сторону далі, то можемо отримати кут величиною понад 360 градусів. Якщо зробити півтора оберту, то отримаємо кут величиною 360 + 180 = 540 градусів. Це цілком допустима величина орієнтованого кута. Проте цей кут збігається з кутом величиною 180 градусів.

Кожну таку величину орієнтованого кута легко звести до головної: треба націло поділити величину на 360, а остачу від ділення взяти як головну величину. Спробуймо звести ці 540 градусів до головної величини:

$$540 : 360 = 1\quad (\mbox{остача } 180)$$

Аналогічно для інших величин. Наприклад, для кутів величиною 750, 1080 і 2000 градусів маємо:

$$\begin{eqnarray} 750 : 360 = 2&\quad& (\mbox{остача } 30)\\ 1080 : 360 = 3&\quad& (\mbox{остача } 0)\\ 2000 : 360 = 5&\quad& (\mbox{остача } 200) \end{eqnarray}$$

Отже, головні величини цих кутів — 30, 0 і 200 градусів. Якщо рахуємо в радіанах, ділимо на вираз 2π.