Радіанна міра кута

Радіан — так само як і градус — одиниця вимірювання величини кутів. Його означають на одиничному колі, а його величина відповідає центральному куту дуги, довжина якої дорівнює радіусу кола.

Означення

Щоб означити радіанну міру, нам потрібне одиничне коло. Позначимо на цьому колі дві точки A і B так, щоб дуга між ними мала довжину один, тобто щоб довжина дуги дорівнювала радіусу цього кола. Якщо центр кола позначити точкою S, то кут ASB має величину рівно один радіан.

Відрізок AS — це радіус кола, його зафарбовано червоним. Так само довгою має бути й друга червона лінія — дуга AB. Важливо, що нас цікавить не відстань між точками A і B безпосередньо, тобто не відрізок AB, а саме довжина цієї дуги.

Яке значення радіана в градусах? Приблизно $57^\circ 17^{\prime} 45^{\prime\prime}$. Точного значення ми обчислити не можемо. Тоді виникає питання, навіщо така одиниця потрібна.

Практичні обчислення з радіанами

Спершу відповімо на питання, скільком радіанам відповідає ціле коло, тобто скільком радіанам відповідають 360 градусів. Ми знаємо, що довжина дуги в один радіан — це якраз радіус кола. Скільки таких дуг ми зможемо вкласти на ціле коло? Ціле коло має довжину (тобто довжину кола) рівно

$$L=2\pi r.$$

Наша дуга має довжину r, тож щоб дізнатися, скільки разів дуга вміщається на колі, треба поділити L / r, і отримаємо:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi.$$

Отже, відповідь така: таких дуг ми можемо відкласти на цілому колі 2π. Це вже доволі гарне число. Тому можемо записати, що

$$360^\circ=2\pi \mbox{ рад}\quad\mbox{і}\quad180^\circ=\pi\mbox{ рад}.$$

Часто саму одиницю рад опускають і пишуть просто кут величиною, наприклад, 2π.

На наступному рисунку зображено три кути величиною в один радіан, це кути альфа, бета й гамма. Видно, що в сумі їхні величини дають майже 180 градусів. Але оскільки для 180 градусів нам потрібно π радіанів, а π має наближене значення 3{,}1415…, то нам ще трохи бракує.

Переведення градусів у радіани та навпаки

Більшість приладів і програм, що обчислюють тригонометричні функції, за замовчуванням працюють із радіанами. Це трохи проблематично, якщо кут заданий у градусах. Маєш два варіанти: якщо можна, перемкнути прилад так, щоб він рахував у градусах, або перевести градуси в радіани.

Наприклад, інтернет-пошуковик Google має вбудований калькулятор, тож там можна обчислити, скажімо, значення функції синус. Проте за замовчуванням він працює саме з радіанами, тому коли ми спробуємо обчислити sin(30), то не отримаємо правильного результату 0{,}5, бо Google сприймає це не як тридцять градусів, а як тридцять радіанів. Але якщо після числа додати слово «degrees» (англійською «градус»), то він порахує вже правильно: sin(30 degrees). Більшість калькуляторів має саме два режими: один працює в градусах, а другий — у радіанах. Зазвичай це перемикається кнопкою з написом rad і deg. Rad — скорочення від радіан, deg — від degree.

Якщо іншого виходу немає, треба перевести градуси в радіани або навпаки. Почнемо з першого: переведення градусів у радіани. Ми вже знаємо, що справджується рівність $180^\circ=\pi\mbox{ рад}$. Хочемо дізнатися, якій частині радіана відповідає один градус, тож поділимо рівність на 180:

$$1^\circ=\frac{\pi}{180}\mbox{ рад}$$

Тепер ми знаємо, скільки радіанів в одному градусі. Якщо треба обчислити, наприклад, тридцять градусів, помножимо цей дріб на тридцять:

$$30^\circ=30\cdot\frac{\pi}{180}\mbox{ рад}=\frac{\pi}{6}\mbox{ рад}.$$

Так само й для інших градусів.

Тепер зворотний випадок, переведення радіанів у градуси. Знову виходимо з рівності $180^\circ=\pi\mbox{ рад}$. Якщо маємо 2π радіанів, то отримаємо удвічі більше градусів, тобто 360. Якщо ж маємо лише половину π радіанів, то отримаємо вдвічі менше градусів — 90. Отже, спершу ділимо наше значення в радіанах на число π і дізнаємося, у скільки разів цей кут більший за 180 градусів. Потім множимо це значення на 180 — і маємо кут у градусах. Тож якщо маємо кут величиною 3π/2 радіанів, то після ділення отримаємо:

$$\frac{3\pi}{2}:\pi=\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{1}{\pi}=\frac32$$

Цей результат множимо на 180 — і маємо кут у градусах: 3/2 · 180 = 270. Якщо маємо два радіани, то отримуємо:

$$2\mbox{ рад} = \frac{2}{\pi}\cdot180=\left(\frac{360}{\pi}\right)^\circ = 114{,}59\ldots^\circ$$

Основне співвідношення між значенням у радіанах і в градусах показує ця формула (рад — значення в радіанах, град — значення в градусах):

$$град=рад\cdot\frac{180^\circ}{\pi}.$$

Історія

Поняття радіана, ймовірно, першим запровадив Роджер Котес у 1714 році. Тоді його одиниця ще не мала назви «радіан», проте решта означень і властивостей були тотожними. Термін «радіан» уперше з'явився на папері 5 червня 1873 року в статті Джеймса Томсона. Одиниця могла б називатися й «радіал» або просто «рад». (Джерело: Вікіпедія)

Таблиця основних співвідношень

Деякі кути використовують досить часто, тож наступна таблиця містить значення в градусах та їхні еквіваленти в радіанах:

$$ \LARGE \begin{matrix} \mbox{град: }&0&30&45&60&90&180&270&360\\ \mbox{рад: }&0&\frac{\pi}{6}&\frac{\pi}{4}&\frac{\pi}{3}&\frac{\pi}{2}&\pi&\frac{3\pi}{2}&2\pi \end{matrix} $$