Одиничне коло

Одиничне коло — це звичайне коло, радіус якого дорівнює одиниці. Одиничне коло слугує для наочного зображення означень окремих тригонометричних функцій.

Що таке одиничне коло

Одиничне коло — це коло радіуса одиниця, центр якого міститься в початку системи координат, тобто в точці (0; 0). Подивися на наступний малюнок:

Коло поділено на чотири частини, які називають координатними чвертями. Праворуч угорі — перша чверть, ліворуч угорі — друга, ліворуч унизу — третя і праворуч унизу — четверта. Оскільки ми використовуватимемо це коло для зображення кутів, на ньому позначено градуси. Там, де нуль градусів, зазвичай починається сторона кута, спрямована праворуч уздовж осі Ox. Кут 90° відповідає точці (0; 1) угорі.

Означення синуса й косинуса на колі

На одиничному колі дуже зручно зобразити окремі тригонометричні функції. Спершу ми відкладемо на одиничному колі якийсь кут, а потім покажемо, де на ньому можна прочитати значення окремих функцій.

Ми відклали на колі кут ASB (червоним). Цей кут ми назвали альфа. Сторони кута перетинають одиничне коло у двох точках: A і B. Для нас важлива точка B. Якщо з точки B провести пряму, паралельну осі x (на малюнку це горизонтальна пунктирна лінія), ця пряма перетне вісь y рівно в одній точці. Цю точку позначимо P_s. При цьому довжина відрізка SP_s (зелений відрізок) дорівнює синусу кута альфа.

Оскільки ми працюємо на одиничному колі з центром у початку координат, довжина відрізка SP_s (зелений відрізок) дорівнює ординаті точки P_s, а вона дорівнює ординаті точки B.

На тому самому колі можна прочитати й косинус. Для цього проведемо через точку B пряму, паралельну осі y. Ця пряма перетне вісь x у точці, яку позначимо P_c. Довжина відрізка SP_c тоді дорівнює косинусу кута альфа. Знову можемо сказати, що це значення дорівнює абсцисі точок B і P_c.

Означення тангенса й котангенса

Так само як ми означили на одиничному колі синус і косинус, можна означити тут тангенс і котангенс. Для наочності спершу покажемо, де на одиничному колі з'являється тангенс. Для цього нам знадобиться ще одна пряма. Це пряма, паралельна осі y, яка проходить через точку A, тобто через точку (1; 0). На наступному малюнку це синя пряма:

Ця пряма перетинає промінь (сторону кута) SB в одній точці, яку позначимо P_t. Довжина відрізка AP_t тоді дорівнює тангенсу кута альфа. Знову ж таки, достатньо взяти ординату точки P_t, і ми також отримаємо тангенс кута альфа.

Щоб зобразити на одиничному колі котангенс, нам потрібна ще одна пряма. Цього разу це пряма, що проходить через точку (0; 1) і паралельна осі x. Її також виділено синім кольором:

Ця пряма перетинає промінь (сторону кута) SB в одній точці, яку позначимо P_k. Довжина відрізка CP_k тоді дорівнює котангенсу кута альфа. Як і завжди, можна взяти лише абсцису точки P_k, і ми отримаємо котангенс кута.

Постає питання, що буде, якщо кут альфа більший за 90 градусів для тангенса й більший за 180 градусів для котангенса, адже в цих випадках пряма не перетне сторону кута, див. наступний малюнок:

Тоді ми замінимо промінь SB на пряму, і ця пряма вже перетне пряму p.

Для тангенса діяли б так само.

Коли тангенс і котангенс не визначені

На одиничному колі можна помітити одну цікаву річ. Якщо кут альфа дорівнює 180 градусам, то пряма p і сторона кута ніколи не перетнуться, бо будуть паралельні. Як виправити цю проблему? Ніяк, котангенс 180 градусів не визначений. Так само не визначений тангенс 90 градусів, бо така сторона кута буде паралельна осі y, а отже, паралельна й прямій, з якою мала б перетнутися. Наступний малюнок показує це принаймні для котангенса.