Πιθανότητα

Η πιθανότητα ενός τυχαίου ενδεχομένου μας δείχνει πόσο πιθανό είναι να συμβεί το συγκεκριμένο ενδεχόμενο. Ένα τυπικό παράδειγμα είναι η ρίψη ενός κλασικού ζαριού. Μπορούμε να ρωτήσουμε «ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε πέντε;» Την πιθανότητα τη δίνουμε είτε ως αριθμό από το διάστημα [0, 1] είτε με ποσοστά, δηλαδή από 0% έως 100%.

Σχετικοί ορισμοί

Για κάθε επαναλαμβανόμενη διαδικασία που εξαρτάται από την τύχη λέμε ότι είναι πείραμα τύχης. Για παράδειγμα, η ρίψη ενός ζαριού ή η κλήρωση του Λόττο είναι πείραμα τύχης. Επιπλέον χρειαζόμαστε το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος τύχης – αυτές είναι όλες οι δυνατότητες που μπορούν να συμβούν στο συγκεκριμένο πείραμα. Για παράδειγμα, στο ζάρι μπορούν να έρθουν οι αριθμοί από το ένα έως το έξι, οπότε το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων, που το συμβολίζουμε με Ω (ωμέγα), για το ζάρι θα ήταν το εξής: Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Στο Λόττο θα ήταν όλοι οι συνδυασμοί που μπορούν να βγουν.

Κάθε υποσύνολο A ⊆ Ω λέγεται (τυχαίο) ενδεχόμενο. Για παράδειγμα, το ενδεχόμενο «στο ζάρι φέρνουμε άρτιο αριθμό» θα το γράφαμε ως A = {2, 4, 6}. Το ενδεχόμενο «στο ζάρι φέρνουμε αριθμό μεγαλύτερο από πέντε» θα το γράφαμε ως A = {6} και ούτω καθεξής. Αν ρίξουμε το ζάρι (= κάνουμε το πείραμα) και φέρουμε τον αριθμό x, τότε, αν x ∈ A, λέμε ότι το ενδεχόμενο πραγματοποιήθηκε, ειδάλλως λέμε ότι δεν πραγματοποιήθηκε. Αν μείνουμε στο ενδεχόμενο «στο ζάρι φέρνουμε άρτιο αριθμό» και φέρουμε x = 2, τότε x ∈ A, δηλαδή 2 ∈ {2, 4, 6} και το ενδεχόμενο πραγματοποιήθηκε.

Υπάρχουν δύο ειδικά είδη ενδεχομένων: το βέβαιο και το αδύνατο. Βέβαιο είναι το ενδεχόμενο που πραγματοποιείται σε κάθε πείραμα, που σημαίνει ότι A = Ω. Στα ζάρια θα ήταν το ενδεχόμενο «φέρνουμε αριθμό μικρότερο από 7». Αυτό σίγουρα θα έρθει. Το αντίθετό του είναι το αδύνατο ενδεχόμενο, που θα ήταν A = ∅ και με λόγια π.χ. «στο ζάρι φέρνουμε γλάστρα». Βέβαια, μια γλάστρα μπορεί να μας πέσει από το τραπέζι την ώρα που ρίχνουμε το ζάρι, αλλά σίγουρα δεν θα φέρουμε γλάστρα στο ζάρι, γιατί εκεί υπάρχουν μόνο οι αριθμοί από το 1 έως το 6.

Πιθανότητα ενός ενδεχομένου

Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου μας λέει πόσο μπορούμε να περιμένουμε ότι θα συμβεί το συγκεκριμένο ενδεχόμενο. Μάλλον όλοι υποψιαζόμαστε ότι στο ζάρι θα φέρουμε κάποιον άρτιο αριθμό πιο συχνά απ' ό,τι ακριβώς το πέντε. Η πιθανότητα μετατρέπει αυτή την υποψία σε ακριβείς αριθμούς. Πρώτα θα πούμε μερικές προϋποθέσεις που θα χρειαστούμε.

Ας υποθέσουμε ότι για ένα πείραμα τύχης ισχύουν τα εξής:

• Τα δυνατά αποτελέσματα είναι πεπερασμένα το πλήθος (δηλαδή το Ω είναι πεπερασμένο σύνολο).
• Δεν μπορούν να έρθουν δύο αποτελέσματα ταυτόχρονα (δηλαδή δεν μπορούμε να φέρουμε στο ζάρι τον αριθμό 3 και ταυτόχρονα το 6).
• Κάθε αποτέλεσμα είναι εξίσου πιθανό (δηλαδή έχουμε την ίδια πιθανότητα να φέρουμε στο ζάρι τον αριθμό 4 όπως και το 6 ή το 1).

Οι δύο πρώτες συνθήκες είναι αρκετά φυσικές, η τελευταία είναι κάπως περιοριστική, αλλά προς το παρόν μας αρκεί. Τότε μπορούμε να πούμε ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου A, που τη συμβολίζουμε P(A), είναι ίση με

$$P(A)=\frac{N(A)}{N(\mathrm{\Omega })}.$$

Με άλλα λόγια: το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων διά το πλήθος όλων των περιπτώσεων. (Το N(A) στον προηγούμενο τύπο σημαίνει το πλήθος των στοιχείων του συνόλου.) Η πιθανότητα να φέρουμε άρτιο αριθμό στο ζάρι θα ήταν λοιπόν ίση με:

$$P(\text{άρτιος})=\frac{N(\{2,4,6\})}{N(\{1,2,3,4,5,6\})}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Συχνά δίνουμε την πιθανότητα με τη μορφή ποσοστών – αρκεί να πάρουμε την πιθανότητα που υπολογίσαμε, να την πολλαπλασιάσουμε με το εκατό και να προσθέσουμε το σύμβολο του ποσοστού: 0,5 · 100% = 50%. Η πιθανότητα πενήντα τοις εκατό μας λέει ουσιαστικά ότι έχουμε την ίδια πιθανότητα να φέρουμε άρτιο αριθμό όσο και να μην τον φέρουμε. Κάτι που βγάζει νόημα, αφού στο ζάρι έχουμε τρεις άρτιους και τρεις περιττούς αριθμούς.

Το βέβαιο ενδεχόμενο έχει πιθανότητα 1, το αδύνατο 0. Γιατί; Είπαμε ότι για το βέβαιο ενδεχόμενο J ισχύει J = Ω και για το αδύνατο ενδεχόμενο Δ ισχύει Δ= ∅. Αν αντικαταστήσουμε αυτά τα ενδεχόμενα στον τύπο, παίρνουμε:

$$P(J)=\frac{N(\mathrm{\Omega })}{N(\mathrm{\Omega })}=1;P(\mathrm{\Delta })=\frac{N(\mathrm{\varnothing })}{N(\mathrm{\Omega })}=\frac{0}{N(\mathrm{\Omega })}=0.$$

Λυμένα παραδείγματα

1. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε στο ζάρι τον αριθμό πέντε; Αυτό είναι απλό, το σύνολο όλων των ευνοϊκών αποτελεσμάτων είναι μόνο το A = {5}, το σύνολο όλων των αποτελεσμάτων παραμένει Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Αντικαθιστούμε στον τύπο:

   $$P(A)=\frac{N(\{5\})}{N(\{1,2,3,4,5,6\})}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε στο ζάρι αριθμό που διαιρείται με το τρία; Πρέπει να βρούμε ποιοι αριθμοί του ζαριού διαιρούνται με το τρία. Είναι μόνο οι αριθμοί 3 και 6, άρα το σύνολο των ευνοϊκών αποτελεσμάτων είναι B = {3, 6}. Μετά, ως συνήθως:

   $$P(B)=\frac{N(\{3,6\})}{N(\{1,2,3,4,5,6\})}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Τώρα θα δοκιμάσουμε να ρίξουμε δύο ζάρια ταυτόχρονα. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε εξάρες και στα δύο ζάρια; Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε το Ω, δηλαδή το σύνολο όλων των αποτελεσμάτων. Πρέπει να μετρήσουμε όλες τις δυνατότητες που μπορούν να συμβούν. Όταν λοιπόν στο πρώτο ζάρι φέρουμε τον αριθμό 1, στο δεύτερο μπορεί να έρθει ο αριθμός από το 1 έως το 6. Έτσι βρήκαμε έξι δυνατότητες. Όταν στο πρώτο ζάρι φέρουμε τον αριθμό 2, στο δεύτερο ζάρι μπορούν πάλι να έρθουν οι αριθμοί από το 1 έως το 6· έτσι βρήκαμε άλλες έξι δυνατότητες. Και ούτω καθεξής για όλους τους αριθμούς που μπορούν να έρθουν στο πρώτο ζάρι. Όλες οι δυνατότητες φαίνονται έτσι:

   $$\begin{array}{rcl}& \mathrm{\Omega }=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ & & \dots \\ & & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}$$

   Έχουμε συνολικά έξι γραμμές και σε κάθε γραμμή έξι δυνατότητες. Συνολικά παίρνουμε 6 · 6 = 36 δυνατότητες που μπορούν να έρθουν στα ζάρια. Πόσες από αυτές θα ανήκουν ταυτόχρονα στο σύνολο των ευνοϊκών αποτελεσμάτων; Μόνο μία δυνατότητα, συγκεκριμένα η (6, 6), γιατί θέλουμε να φέρουμε δύο εξάρες. Παίρνουμε έτσι την πιθανότητα:

   $$P(C)=\frac{N(\{(6,6)\})}{N(\mathrm{\Omega })}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε στη ρίψη δύο ζαριών τον ίδιο αριθμό και στα δύο; Το πλήθος όλων των δυνατών αποτελεσμάτων είναι πάλι 36, δες το προηγούμενο παράδειγμα. Πόσα όμως είναι τα ευνοϊκά αποτελέσματα; Μόνο σε έξι περιπτώσεις έρχεται ο ίδιος αριθμός και στα δύο ζάρια: D = {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}. Αντικαθιστούμε στον τύπο:

   $$P(D)=\frac{N(D)}{N(\mathrm{\Omega })}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. Ποια είναι η πιθανότητα, όταν ρίχνουμε δύο ζάρια, ένα λευκό και ένα μαύρο, να φέρουμε στο λευκό ζάρι 3 και στο μαύρο ζάρι 5; Το πλήθος του Ω είναι πάλι 36. Ποιο είναι το σύνολο των ευνοϊκών αποτελεσμάτων E; Περιέχει μόνο τη δυνατότητα (3, 5), άρα η πιθανότητα είναι ίση με

   $$P(E)=\frac{N(E)}{N(\mathrm{\Omega })}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. Ποια είναι η πιθανότητα, όταν ρίχνουμε δύο ζάρια, ένα λευκό και ένα μαύρο, να έρθουν οι αριθμοί 3 και 5; Το παράδειγμα αυτό μοιάζει με το προηγούμενο, μόνο που δεν απαιτούμε το 3 να έρθει στο λευκό ζάρι και το 5 στο μαύρο. Απλώς σε ένα από τα ζάρια πρέπει να έρθει 3 και στο άλλο ο αριθμός 5. Έτσι παίρνουμε περισσότερες δυνατότητες: εκτός από το (3, 5) έχουμε και τη δυνατότητα (5, 3). Η πιθανότητα αυτού του ενδεχομένου F είναι λοιπόν ίση με:

   $$P(F)=\frac{N(F)}{N(\mathrm{\Omega })}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. Ποια είναι η πιθανότητα, όταν ρίχνουμε δύο ζάρια, να φέρουμε τουλάχιστον μία εξάρα; Θα προχωρήσουμε σταδιακά: αν φέρουμε εξάρα στο πρώτο ζάρι, τότε στο δεύτερο ζάρι μπορούν να έρθουν οι αριθμοί από το 1 έως το 5. Αυτές είναι πέντε δυνατότητες. Αν φέρουμε εξάρα στο δεύτερο ζάρι, στο πρώτο ζάρι μπορούν να έρθουν οι αριθμοί από το 1 έως το 5. Αυτές είναι άλλες πέντε δυνατότητες. Και τέλος η εξάρα μπορεί να έρθει και στα δύο ζάρια – αυτή είναι άλλη μία δυνατότητα. Συνολικά έχουμε λοιπόν 5 + 5 + 1 = 11 δυνατότητες. Το σύνολο των ευνοϊκών αποτελεσμάτων G είναι λοιπόν το εξής: G = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}. Παίρνουμε την πιθανότητα:

   $$P(G)=\frac{N(G)}{N(\mathrm{\Omega })}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. Σε μια τάξη υπάρχουν 30 μαθητές. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής Νίκος να εξεταστεί στην Ιστορία, αν η καθηγήτρια εξετάζει πάντα δύο μαθητές σε κάθε μάθημα και μέχρι τώρα δεν έχει εξεταστεί κανείς; Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα, πρέπει να υπολογίσουμε πόσα διαφορετικά ζευγάρια μαθητών υπάρχουν και πόσα διαφορετικά ζευγάρια μαθητών υπάρχουν, όπου ο ένας από το ζευγάρι είναι ο Νίκος. Επειδή δεν έχει σημασία με ποια σειρά θα εξετάσει η καθηγήτρια τους μαθητές, θα χρησιμοποιήσουμε συνδυασμούς.

   Τώρα θα είναι απλό. Έχουμε συνολικά 30 μαθητές και ρωτάμε πόσα διαφορετικά ζευγάρια μπορούμε να σχηματίσουμε από αυτούς. Αυτό μας οδηγεί στον διωνυμικό συντελεστή

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2})=435$$

   Και σε πόσα ζευγάρια συμμετέχει ο Νίκος; Αν ο ένας από τους δύο είναι ο Νίκος, μένουν συνολικά 29 μαθητές, με τους οποίους μπορεί ο Νίκος να σχηματίσει ζευγάρι (με τον εαυτό του δεν μπορεί, γι' αυτό 30-1=29). Τώρα γνωρίζουμε το πλήθος όλων των δυνατοτήτων και το πλήθος των ευνοϊκών δυνατοτήτων, οπότε αντικαθιστούμε στον τύπο:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Παρατήρηση: το πλήθος όλων των ζευγαριών μπορούμε να το υπολογίσουμε και χωρίς συνδυασμούς. Με ποιον τρόπο θα μπορούσαμε να σχηματίσουμε όλα τα ζευγάρια, αν έχουμε μια τάξη 30 μαθητών; Παίρνουμε κάθε φορά έναν μαθητή και του προσθέτουμε διαδοχικά όλους τους άλλους. Αυτό σημαίνει ότι παίρνουμε, για παράδειγμα, τον Μάρκο και του προσθέτουμε στο ζευγάρι όλους τους άλλους μαθητές, δηλαδή σχηματίζουμε 29 ζεύγη. Έτσι το κάνουμε με κάθε μαθητή, δηλαδή και με τους 30 μαθητές. Παίρνουμε συνολικά 30 · 29 = 870 ζεύγη. Ωστόσο κάθε ζευγάρι το έχουμε δύο φορές, μία φορά έχουμε το ζευγάρι (Μάρκος, Μαρία) και μία δεύτερη το (Μαρία, Μάρκος) (ανάλογα με το αν ο Μάρκος ήταν εκείνος στον οποίο προσθέταμε τους υπόλοιπους της τάξης ή εκείνος που προσθέταμε στη Μαρία). Αυτό το αποτέλεσμα το διαιρούμε λοιπόν ακόμη με το δύο και έχουμε το τελικό αποτέλεσμα: 870 / 2 = 435.

9. Ποια είναι η πιθανότητα να βγάλουμε από μια παπουτσοθήκη, όπου υπάρχουν δώδεκα ζευγάρια παπούτσια, ακριβώς τρία παπούτσια για το αριστερό πόδι; Αυτό είναι ένα πολύ βολικό παράδειγμα από τη ζωή, σίγουρα το έχεις χρειαστεί κάποτε να το ξέρεις. Ξεκινάμε υπολογίζοντας πόσες διαφορετικές τριάδες μπορούμε γενικά να βγάλουμε από την παπουτσοθήκη. Γι' αυτό θα χρειαστούμε συνδυασμούς, επειδή δεν έχει σημασία με ποια σειρά βγάζουμε τα παπούτσια. Έχουμε συνολικά 24 παπούτσια και θέλουμε να βγάλουμε 3. Παίρνουμε τον διωνυμικό συντελεστή:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3})=2024$$

   Έτσι υπολογίσαμε ότι υπάρχουν συνολικά 2024 διαφορετικοί συνδυασμοί τριών παπουτσιών που μπορούμε να βγάλουμε από την παπουτσοθήκη. Τώρα πρέπει να υπολογίσουμε ποιοι συνδυασμοί είναι ευνοϊκοί, δηλαδή ποιοι συνδυασμοί τριών παπουτσιών περιέχουν μόνο παπούτσια για το αριστερό πόδι. Ξέρουμε ότι στην παπουτσοθήκη υπάρχουν συνολικά 12 παπούτσια για το αριστερό πόδι. Εμείς λοιπόν απλώς υπολογίζουμε πόσους συνδυασμούς μπορούμε να σχηματίσουμε από αυτά τα 12 παπούτσια. Αυτό πάλι οδηγεί στον διωνυμικό συντελεστή:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3})=220$$

   Υπάρχουν λοιπόν 220 συνδυασμοί που περιέχουν πάντα μόνο παπούτσια για το αριστερό πόδι. Αυτό είναι ό,τι χρειάζεται να ξέρουμε, τώρα απλώς αντικαθιστούμε στον τύπο:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   Έχουμε λοιπόν περίπου δέκα τοις εκατό πιθανότητα να βγάλουμε τρία παπούτσια και όλα για το αριστερό πόδι.