Μη μεταβατικά ζάρια

Φαντάσου ότι έχεις τρία εξάεδρα ζάρια, που έχουν πάνω τους όποιους αριθμούς θέλεις. Μπορεί στο ζάρι A να έρχεται συχνότερα μεγαλύτερος αριθμός απ' ό,τι στο ζάρι B, στο ζάρι B να έρχεται συχνότερα μεγαλύτερος αριθμός απ' ό,τι στο ζάρι C και στο ζάρι C να έρχεται συχνότερα μεγαλύτερος αριθμός απ' ό,τι στο ζάρι A;

Μεταβατικότητα

Η μεταβατικότητα είναι έννοια από τις διμελείς σχέσεις. Λέμε ότι μια σχέση R στο M είναι μεταβατική, αν για όλα τα a, b, c ∈ M ισχύει ότι, αν (a, b) ∈ R και ταυτόχρονα (b, c) ∈ R, τότε και το (a, c) ανήκει στη R.

Στην περίπτωση των ζαριών θα μπορούσαμε να έχουμε τη σχέση «είναι καλύτερο ζάρι», με την έννοια ότι το ζάρι A είναι καλύτερο από το ζάρι B, αν στο ζάρι A έρχεται συχνότερα μεγαλύτερος αριθμός απ' ό,τι στο ζάρι B. Τότε η μεταβατικότητα θα έμοιαζε έτσι: αν το ζάρι A είναι καλύτερο από το ζάρι B και ταυτόχρονα το ζάρι B είναι καλύτερο από το ζάρι C, τότε και το ζάρι A πρέπει να είναι καλύτερο από το ζάρι C. Είναι αλήθεια;

Θα προσπαθήσουμε να βρούμε αντιπαράδειγμα, δηλαδή τρία ζάρια που θα είναι κυκλικά καλύτερα το ένα από το άλλο. Το ζάρι A θα είναι καλύτερο από το B, το B θα είναι καλύτερο από το C και το C θα είναι καλύτερο από το A. Λαμβάνουμε υπόψη μόνο εξάεδρα ζάρια.

Παράδειγμα

Παράδειγμα είναι τα εξής τρία ζάρια:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

Ποια είναι η πιθανότητα να έρθει στο ζάρι A μεγαλύτερος αριθμός απ' ό,τι στο ζάρι B; Υπάρχουν συνολικά 36 διαφορετικά ζευγάρια αποτελεσμάτων των δύο ζαριών. Αν στο ζάρι B έρθει το πρώτο ένα, στο ζάρι A έρχεται πάντα μεγαλύτερος αριθμός. Δηλαδή έχουμε 6 ζευγάρια, όπου στο ζάρι A έρχεται μεγαλύτερος αριθμός. Αν στο B έρθει το δεύτερο ένα, έχουμε άλλα 6 ζευγάρια, όπου στο A έρχεται μεγαλύτερος αριθμός. Αν έρθει ένα από τα εξάρια, πρέπει στο A να έρθει ένα από τα εννιάρια. Αυτές είναι άλλες 4 δυνατότητες. Αν έρθει ένα από τα οκτάρια, πρέπει στο A να έρθει ένα από τα εννιάρια. Πάλι 4 δυνατότητες. Συνολικά έχουμε 6 + 6 + 4 + 4 = 20 δυνατότητες. Η πιθανότητα να έρθει στο A μεγαλύτερος αριθμός είναι λοιπόν 20/36 = 5/9, που είναι περίπου 56%.

Τώρα B εναντίον C. Αν στο C έρθει ένα από τα τριάρια, πρέπει στο B να έρθει ένα από τα εξάρια ή ένα από τα οκτάρια. Αυτές είναι συνολικά 2 · 4 = 8 δυνατότητες. Αν έρθει πεντάρι, πρέπει πάλι στο B να έρθει 6 ή 8, άρα πάλι 8 δυνατότητες. Αν έρθει επτάρι, πρέπει στο B να έρθει οκτάρι, 4 δυνατότητες. Συνολικά 8 + 8 + 4 = 20. Η πιθανότητα είναι πάλι 5/9.

Τέλος, C εναντίον A. Αν στο A έρθει δυάρι, όλα όσα έχει το C είναι μεγαλύτερα. Αυτές είναι 12 δυνατότητες. Αν έρθει τεσσάρι, στο C μπορεί να έρθει 5 ή 7. Αυτές είναι 8 δυνατότητες. Αν έρθει εννιάρι, είμαστε άτυχοι. Συνολικά αυτό κάνει 12 + 8 = 20 δυνατότητες και παίρνουμε πάλι πιθανότητα 5/9.

Ζάρια του Efron

Τα ζάρια του Efron είναι μια ακόμη περίπτωση συνόλου ζαριών που δεν είναι μεταβατικά ως προς τη σχέση «είναι καλύτερο ζάρι». Έχουν τους εξής αριθμούς:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Ισχύει μάλιστα ότι κάθε ζάρι νικά το επόμενο πάντα με πιθανότητα 2/3. Για παράδειγμα, όταν στο ζάρι A έρθει τεσσάρι, κερδίζει το ζάρι B. Όταν έρθει μηδέν, χάνει. Και στο ζάρι A έρχεται τεσσάρι με πιθανότητα 2/3. Παρόμοια ισχύουν και για τα υπόλοιπα ζάρια.

Υπάρχουν και άλλες παραλλαγές των ζαριών του Efron. Τέτοιες που έχουν την ίδια μέση τιμή σε μία ρίψη (για παράδειγμα το ζάρι A φέρνει κατά μέσο όρο τον αριθμό 8/3, ενώ το C έχει μεγαλύτερο μέσο όρο, 10/3) ή τέτοιες που μοιράζονται μεταξύ τους όλους τους φυσικούς αριθμούς από το 1 έως το 24.

Άλλες πηγές

• Αγγλική Wikipedia