Το πρόβλημα Monty Hall

Το πρόβλημα των τριών πορτών, που λέγεται και πρόβλημα Monty Hall, είναι ένα πρόβλημα πιθανοτήτων που μπερδεύει πολλούς ανθρώπους.

Εκφώνηση

Έχουμε τρεις πόρτες. Ο παρουσιαστής Monty Hall βάζει πίσω από τη μία πόρτα ένα αυτοκίνητο και πίσω από τις υπόλοιπες από μια κατσίκα. Ο στόχος σου είναι να βρεις και να διαλέξεις την πόρτα πίσω από την οποία είναι το αυτοκίνητο. Αυτή τη στιγμή σε καλεί να διαλέξεις μία από τις τρεις πόρτες, που θα τις ονομάσουμε A, B και C. Εσύ διαλέγεις μία πόρτα, ας πούμε τη B. Στη συνέχεια μπαίνει στο παιχνίδι ο παρουσιαστής, ο οποίος από τις υπόλοιπες πόρτες, δηλαδή τις A, C, ανοίγει αυτήν πίσω από την οποία κρύβεται κατσίκα – δηλαδή σου αποκαλύπτει μια πόρτα που σίγουρα δεν οδηγεί στον στόχο. Ας πούμε ότι ανοίγει την πόρτα A.

Το νόημα όλου του προβλήματος βρίσκεται στο επόμενο βήμα – ο παρουσιαστής σου προτείνει ότι μπορείς να αλλάξεις την επιλογή σου. Αρχικά διάλεξες την πόρτα B, μετά ο παρουσιαστής σου είπε ότι πίσω από την πόρτα A δεν υπάρχει αυτοκίνητο και σου προτείνει να αλλάξεις την επιλογή σου στην πόρτα C. Μπορείς όμως να κρατήσεις την αρχική σου επιλογή B.

Τι θα αποφασίσεις; Είναι πιο πιθανό το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την πόρτα B ή πίσω από την πόρτα C; Ή είναι το ίδιο;

Λύση

Έχεις τρεις πόρτες. Η μία πόρτα βγήκε από το παιχνίδι, άρα στην ουσία έχεις πια μόνο δύο πόρτες. Πίσω από τη μία από αυτές τις πόρτες σίγουρα υπάρχει το αυτοκίνητο. Για τις δύο εναπομείνασες πόρτες δεν ξέρεις τίποτα και δεν έχεις στη διάθεσή σου καμία άλλη ένδειξη. Άρα η πιθανότητα είναι φυσικά 50% και για τις δύο πόρτες.

Περίπου έτσι σκέφτεται ένα μεγάλο μέρος των ανθρώπων, οπότε μη στενοχωριέσαι αν το σκέφτηκες κι εσύ. Η λύση αυτή όμως είναι φυσικά λανθασμένη :-).

Η σωστή λύση

Συμφέρει να αλλάξεις την επιλογή σου στην πόρτα που δεν απέκλεισε ο παρουσιαστής. Για να το καταλάβουμε, μπορούμε να γράψουμε τις πιθανότητες από την αρχή. Όταν διαλέγεις για πρώτη φορά πόρτα, η πιθανότητα να βρίσκεται πίσω της το αυτοκίνητο είναι 1/3. Δεν έχουμε καμία άλλη ένδειξη, άρα η πιθανότητα κατανέμεται ομοιόμορφα, 1/3 για κάθε πόρτα.

Αν λοιπόν διαλέξεις την πόρτα B, έχεις πιθανότητα 1/3 να βρίσκεται πίσω της το αυτοκίνητο. Ταυτόχρονα υπάρχει πιθανότητα 2/3 το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την πόρτα A ή C. Είναι λοιπόν πιο πιθανό το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από μια πόρτα που δεν διαλέξαμε. Αυτό είναι σημαντικό.

Στο επόμενο βήμα μπαίνει στο παιχνίδι ο παρουσιαστής και ανοίγει μία από τις πόρτες πίσω από τις οποίες δεν υπάρχει αυτοκίνητο. Ο παρουσιαστής ανοίγει την πόρτα A. Πίσω από την πόρτα A λοιπόν δεν υπάρχει αυτοκίνητο. Τι γίνεται με την πιθανότητα 2/3; Ξέρουμε ότι η πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την πόρτα A ή C είναι 2/3 και ταυτόχρονα ξέρουμε ότι πίσω από την πόρτα A δεν είναι. Η πιθανότητα 2/3 μεταφέρεται έτσι στην πόρτα C. Η πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την πόρτα C είναι 2/3.

Η πιθανότητά μας για την πόρτα B όμως παραμένει ίδια, δεν άλλαξε καθόλου. Έχουμε λοιπόν πιθανότητα 1/3 το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την πόρτα B, που διαλέξαμε, και πιθανότητα 2/3 να βρίσκεται πίσω από την πόρτα C, στην οποία μπορούμε να αλλάξουμε την επιλογή μας. Είναι λοιπόν λογικό να αλλάξεις επιλογή.

Περισσότερες πόρτες

Το πρόβλημα ίσως γίνεται πιο κατανοητό αν αυξήσουμε τον αριθμό των πορτών και τροποποιήσουμε την εκφώνηση ως εξής: έστω ότι έχουμε δέκα πόρτες. Στην αρχή ο διαγωνιζόμενος διαλέγει μία πόρτα και ο παρουσιαστής ανοίγει όλες τις πόρτες εκτός από αυτήν που διαλέξαμε και από αυτήν πίσω από την οποία είναι το αυτοκίνητο. Η εκφώνηση είναι ουσιαστικά ίδια με το προηγούμενο παράδειγμα, μόνο που εκεί, όταν ο παρουσιαστής άνοιγε όλες τις πόρτες, άνοιγε μόνο μία, επειδή δεν μπορούσε να ανοίξει περισσότερες.

Στην αρχή διαλέγεις την πόρτα 1. Η πιθανότητα να βρίσκεται πίσω της το αυτοκίνητο είναι 1/10. Υπάρχει πιθανότητα 9/10 το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από άλλες πόρτες. Στη συνέχεια ο παρουσιαστής αφαιρεί 8 πόρτες πίσω από τις οποίες σίγουρα δεν υπάρχει αυτοκίνητο και πάλι σου μένουν μόνο δύο πόρτες. Η πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την πόρτα που σου άφησε ο παρουσιαστής είναι 9/10, ενώ η πιθανότητα να βρίσκεται πίσω από την πόρτα που διάλεξες εσύ είναι ακόμα 1/10.