Βασικά στοιχεία στατιστικής

Η στατιστική είναι η επιστήμη που προσπαθεί να μελετά πραγματικά δεδομένα και με τη βοήθεια της θεωρίας πιθανοτήτων προσπαθεί να τα περιγράφει.

Ξεχωριστή ενότητα για τη στατιστική

Αυτό είναι ένα παλιό και ξεπερασμένο άρθρο, η στατιστική έχει πλέον τη δική της ενότητα με εισαγωγικό άρθρο Βασικές έννοιες της στατιστικής.

Βασικές έννοιες

Στη στατιστική δουλεύουμε με μερικές βασικές έννοιες, που θα περιγράψουμε εδώ.

Πρώτα απ' όλα πρόκειται για τον πληθυσμό, που είναι ένα πεπερασμένο σύνολο κάποιων δεδομένων που θέλουμε να μελετήσουμε. Τα δεδομένα μπορούν να είναι γενικά, να είναι ουσιαστικά οτιδήποτε. Αν θέλεις να μελετήσεις τον μέσο μισθό στην Ελλάδα, ο πληθυσμός θα είναι το σύνολο όλων των ανθρώπων στην Ελλάδα. Το πλήθος των στοιχείων ενός πληθυσμού λέγεται μέγεθος του πληθυσμού. Το μέγεθος του πληθυσμού που ορίσαμε θα ήταν έτσι ίσο με τον αριθμό των κατοίκων της Ελλάδας.

Στη συνέχεια υπάρχει η έννοια του ατόμου, που είναι ένα συγκεκριμένο στοιχείο του πληθυσμού. Στην περίπτωσή μας το άτομο θα ήταν ένας συγκεκριμένος άνθρωπος.

Τέλος έχουμε τη μεταβλητή, που είναι αυτό που θέλουμε να μετρήσουμε. Στο παράδειγμά μας η μεταβλητή θα ήταν ακριβώς ο μισθός. Η μεταβλητή μπορεί να είναι είτε ποιοτική είτε ποσοτική. Ποσοτική (ποσότητα = πλήθος, αριθμός) είναι μια μεταβλητή που εκφράζεται με αριθμούς (για παράδειγμα ο μισθός, το ύψος, ο αριθμός των παιδιών, …), ενώ ποιοτική είναι μια μεταβλητή που εκφράζεται με λόγια (χρώμα, ναι/όχι, επάγγελμα, …).

Συχνότητες

Η συχνότητα μπορεί να είναι είτε σχετική είτε απόλυτη και δείχνει πόσες τιμές της δοσμένης μεταβλητής εμφανίζονται στον πληθυσμό – είτε απόλυτα, είτε σχετικά ως προς το συνολικό πλήθος των στοιχείων του πληθυσμού.

Το σημαντικό είναι ότι όταν υπολογίζουμε τη συχνότητα πρέπει να εφαρμόσουμε τη μεταβλητή, γιατί αν θέλαμε να υπολογίσουμε την απόλυτη συχνότητα ενός ατόμου, θα καταλήγαμε υποχρεωτικά είτε στον αριθμό μηδέν είτε στον ένα, επειδή ο πληθυσμός είναι σύνολο και το σύνολο ως τέτοιο δεν επιτρέπει να υπάρχουν μέσα του περισσότερα ίδια στοιχεία.

Άρα η απόλυτη συχνότητα της τιμής z της μεταβλητής δείχνει το πλήθος των εμφανίσεων της τιμής z στον πληθυσμό S. Παράδειγμα: ας πάρουμε μια τάξη με δέκα μαθητές. Κάθε μαθητής πήρε στον έλεγχο προόδου κάποιον βαθμό στα μαθηματικά, από μηδέν έως είκοσι. Τους βαθμούς τους καταγράφει ο παρακάτω πίνακας:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 16& 8& 13& 16& 19& 19& 16& 11& 19& 13\end{array}$$

Παρατήρηση: ο πληθυσμός για αυτό το παράδειγμα θα ήταν οι δέκα συμμαθητές, κάτι σαν

$$S=\{\text{Νίκος},\text{Ελένη},\text{Μάριος},\dots \}$$

Στον πίνακα έχουμε για απλότητα στην πρώτη γραμμή έναν αριθμητικό αναγνωριστικό κωδικό του μαθητή, στην πρώτη γραμμή είναι δηλαδή τα άτομα, δηλαδή τα στοιχεία του πληθυσμού. Στη δεύτερη γραμμή έχουμε τις τιμές της μεταβλητής, δηλαδή τις τιμές «τελικός βαθμός στα μαθηματικά» του συγκεκριμένου μαθητή.

Η απόλυτη συχνότητα της τιμής (βαθμού στον έλεγχο προόδου) z = 13 θα ήταν λοιπόν ίση με δύο, μόνο δύο μαθητές πήραν στον έλεγχο προόδου δεκατρία (είναι οι «μαθητές» 3 και 10). Η απόλυτη συχνότητα της τιμής z = 19 θα ήταν τρία (οι «μαθητές» 5, 6 και 9).

Η σχετική συχνότητα δείχνει τι ποσοστό των τιμών της μεταβλητής στον πληθυσμό είναι ίσες με την τιμή z. Τη σχετική συχνότητα της τιμής z τη βρίσκουμε ως εξής:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

όπου z_a είναι η απόλυτη συχνότητα της τιμής z και |S| είναι το μέγεθος του πληθυσμού, δηλαδή το πλήθος των στοιχείων. Η σχετική συχνότητα του βαθμού δεκατρία θα ήταν λοιπόν:

$$r_{13}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

Το μέγεθος του πληθυσμού μας είναι δέκα, επειδή έχουμε στην τάξη δέκα μαθητές. Το ποσοστό το βρίσκουμε πολλαπλασιάζοντας επί εκατό, δηλαδή θα παίρναμε 20%. Η σχετική συχνότητα του δεκαεννιά θα ήταν

$$r_{19}=\frac{3}{10}.$$

Αριθμητικός μέσος

Ο αριθμητικός μέσος, ή συχνά απλώς μέσος όρος, είναι ο μέσος όλων των τιμών στον πληθυσμό. Με τη λέξη τιμή εννοείται η τιμή μετά την εφαρμογή της μεταβλητής. Τον μέσο τον βρίσκουμε προσθέτοντας όλες τις τιμές και διαιρώντας με το πλήθος των τιμών στον πληθυσμό. Δηλαδή περίπου ως εξής:

$$p_a=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Πρόσθεσα και την έκφραση με τη βοήθεια αθροίσματος, σε περίπτωση που σου φαίνεται πιο ευανάγνωστη. Αλλά αρκεί η προηγούμενη παράσταση με το κλάσμα. Οι τιμές x παριστάνουν όλες τις τιμές του πληθυσμού μας.

Παράδειγμα: παίρνουμε τα δεδομένα από τον προηγούμενο πίνακα και υπολογίζουμε τον μέσο βαθμό ανά μαθητή.

$$p_a=\frac{16+8+13+16+19+19+16+11+19+13}{10}=\frac{150}{10}=15$$

Στην τάξη μας ο μέσος βαθμός είναι 15. Όπως βλέπεις, ο αριθμητικός μέσος μπορεί να μας δώσει και τιμή που δεν εμφανίζεται πουθενά στα δεδομένα – κανένας μαθητής δεν πήρε 15.

Ο αριθμητικός μέσος είναι επίσης δύσχρηστος στην περίπτωση που ένα μέρος των δεδομένων έχει ουσιαστικά διαφορετική τιμή από τα υπόλοιπα δεδομένα. Έτσι, αν έχουμε πληθυσμό με τιμές 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75, ο αριθμητικός μέσος μας βγαίνει

$$p_a=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

Βλέπουμε ότι η τελική τιμή είναι πολύ μακριά από όλες τις τιμές του πληθυσμού. Είναι πολλαπλάσια μεγαλύτερη από τους πρώτους έξι αριθμούς και πολλαπλάσια μικρότερη από την τελευταία τιμή. Αυτό είναι πρόβλημα που μπορεί να λύσει για παράδειγμα η διάμεσος, βλέπε παρακάτω. Τουλάχιστον τώρα ξέρεις γιατί τα δύο τρίτα των ανθρώπων δεν φτάνουν τον μέσο μισθό – υπάρχει μια μικρή ομάδα ανθρώπων που έχουν πολύ υψηλούς μισθούς, οι οποίοι ανεβάζουν τον αριθμητικό μέσο.

Γεωμετρικός μέσος

Ο γεωμετρικός μέσος υπολογίζεται παρόμοια με τον αριθμητικό μέσο, μόνο που αντί για πρόσθεση χρησιμοποιείται πολλαπλασιασμός και αντί για διαίρεση ρίζα. Άρα τον γεωμετρικό μέσο τον υπολογίζουμε ως εξής:

$$p_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Ο γεωμετρικός μέσος μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως δείκτης ανάπτυξης. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι η τιμή κάποιου προϊόντος αυξήθηκε μέσα σε ένα χρόνο κατά 10%, τον επόμενο χρόνο κατά 15% και τον επόμενο κατά 5%. Η αρχική τιμή c ήταν λοιπόν μετά από αυτά τα τρία χρόνια στην τιμή

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

Ο γεωμετρικός μέσος αυτών των συντελεστών θα ήταν:

$$p_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

Τι σημαίνει αυτό; Ότι αν η τιμή κάθε χρόνο πολλαπλασιαζόταν ακριβώς με τον αριθμό 1,0992419 (δηλαδή αυξανόταν περίπου κατά 9,92%), τότε η τελική τιμή θα ήταν στην ίδια τιμή:

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Επικρατούσα τιμή και διάμεσος

Η επικρατούσα τιμή μιας μεταβλητής είναι η τιμή που έχει τη μεγαλύτερη συχνότητα, συμβολίζεται Mod(x). Αν επιστρέψουμε στο παράδειγμα με τους βαθμούς, τότε επικρατούσες τιμές είναι οι 16 και 19, επειδή εμφανίζονται συχνότερα – και οι δύο έχουν απόλυτη συχνότητα 3.

Η διάμεσος είναι η μεσαία τιμή, τη συμβολίζουμε Med(x). Αν μπορούμε να διατάξουμε τις τιμές σε αύξουσα ακολουθία

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

τότε η διάμεσος παριστάνει την τιμή που βρίσκεται στη μέση αυτής της ακολουθίας. Η μεσαία τιμή βρίσκεται διαφορετικά, ανάλογα με το αν η ακολουθία έχει περιττό ή άρτιο πλήθος όρων. Αν περιττό, η διάμεσος είναι ο όρος στη θέση

$$\text{Med}(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Αν η ακολουθία έχει άρτιο πλήθος όρων, τότε δεν έχει όρο που να είναι ακριβώς στη μέση (παράδειγμα: η ακολουθία 1, 2, 3, 4 απλώς δεν έχει μεσαίο όρο). Γι' αυτό παίρνουμε τον μέσο των δύο μεσαίων τιμών (τον μέσο των τιμών 2 και 3). Άρα ο τύπος για άρτιο n:

$$\text{Med}(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα που έδειξε τον δύσχρηστο αριθμητικό μέσο. Είχαμε πληθυσμό με τιμές s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75. Η επικρατούσα τιμή θα ήταν ίση με δύο, είναι ο μοναδικός αριθμός που επαναλαμβάνεται. Για τον υπολογισμό της διαμέσου διατάσσουμε τους αριθμούς σε ακολουθία:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

Η ακολουθία έχει επτά όρους, ο μεσαίος όρος είναι λοιπόν ο a₄ και αυτός είναι ίσος με τρία.