Διατάξεις

Χρησιμοποιούμε τις διατάξεις όταν από ένα σύνολο αντικειμένων επιλέγουμε έναν ορισμένο αριθμό αντικειμένων και έχει σημασία η σειρά με την οποία τα επιλέγουμε.

Εξαγωγή του τύπου

Θα ξεκινήσουμε με ένα χαρακτηριστικό πρόβλημα διατάξεων: σε ένα χωριό διοργανώνεται κάθε χρόνο διαγωνισμός στο φάγωμα λουκουμάδων. Στον τελικό πέρασαν συνολικά επτά λαδωμένοι διαγωνιζόμενοι. Υπολόγισε με πόσους τρόπους μπορούν αυτοί οι επτά συμμετέχοντες να καταλάβουν τις τρεις πρώτες θέσεις.

Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι σε αυτό το παράδειγμα έχει σημασία η σειρά. Για παράδειγμα, αν ξέρουμε ότι στις τρεις πρώτες θέσεις θα βρεθούν ο Νίκος, ο Μάνος και ο Κώστας, τότε αυτή η τριάδα μας δίνει συνολικά έξι διαφορετικές κατατάξεις:

• Νίκος, Μάνος, Κώστας·
• Νίκος, Κώστας, Μάνος·
• Μάνος, Νίκος, Κώστας·
• Μάνος, Κώστας, Νίκος·
• Κώστας, Νίκος, Μάνος·
• Κώστας, Μάνος, Νίκος.

Όλες αυτές είναι διαφορετικές κατατάξεις και εμείς θέλουμε να υπολογίσουμε πόσες διαφορετικές κατατάξεις μπορούμε να φτιάξουμε συνολικά, όταν οι διαγωνιζόμενοι είναι 7.

Θα χρησιμοποιήσουμε την πολλαπλασιαστική αρχή. Λέμε ότι επιλέγουμε τριάδες της μορφής (x₁, x₂, x₃), όπου x₁ είναι ο διαγωνιζόμενος που τερμάτισε πρώτος κ.ο.κ. Ποιους διαγωνιζόμενους μπορούμε να βάλουμε στη θέση του x₁; Όλους, δηλαδή στη θέση του x₁ μπορούμε να βάλουμε 7 διαγωνιζόμενους. Ποιους μπορούμε να βάλουμε στη θέση του x₂; Όλους εκτός από αυτόν που βάλαμε ήδη στην πρώτη θέση, άρα στη θέση του x₂ μπορούμε να βάλουμε 7 − 1 = 6 διαγωνιζόμενους. Στη θέση του x₃ μπορούμε να βάλουμε όσους δεν είναι στην πρώτη ή στη δεύτερη θέση, άρα έχουμε 7 − 2 = 5 δυνατότητες. Εφαρμόζουμε την πολλαπλασιαστική αρχή και παίρνουμε τον συνολικό αριθμό δυνατοτήτων: 7 · 6 · 5 = 210.

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι αν θέλουμε να ξέρουμε τον αριθμό όλων των δυνατοτήτων για τις πρώτες 4 θέσεις, στη θέση του x₄ μπορούμε να βάλουμε 7 − 3 = 4 διαγωνιζόμενους, άρα ο συνολικός αριθμός δυνατοτήτων θα είναι 7 · 6 · 5 · 4 = 840. Τι μπορούμε να συμπεράνουμε από αυτό;

Αν έχουμε ένα σύνολο με ν στοιχεία (εδώ στο παράδειγμα 7 φαγάδες) και επιλέγουμε 3 στοιχεία, με σημασία στη σειρά, τότε το αποτέλεσμα είναι ίσο με ν · (ν − 1) · (ν − 2). Στην πρώτη θέση μπορούν να βρεθούν όλοι, στην επόμενη ένας λιγότερος κ.ο.κ. Από αυτό μπορούμε να βρούμε τον γενικό τύπο για την επιλογή κ στοιχείων από ένα σύνολο με ν στοιχεία: ο αριθμός των δυνατοτήτων θα είναι ίσος με ν · (ν − 1) · (ν − 2) · … · (ν − κ + 1).

Αυτόν τον τύπο θα τον επεξεργαστούμε ακόμα περισσότερο με τη βοήθεια του παραγοντικού. Αν δούμε πώς μοιάζει το παραγοντικό του επτά: 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 και πώς υπολογίσαμε το πλήθος όλων των κατατάξεων στο βάθρο 7 · 6 · 5, βλέπουμε μια κάποια ομοιότητα. Χρειάζεται μόνο να ξεφορτωθούμε το τέλος, δηλαδή να διαιρέσουμε το 7! με το 4 · 3 · 2 · 1, οπότε μένει μόνο το 7 · 6 · 5. Και σε τι ισούται η παράσταση 4 · 3 · 2 · 1; Ισούται με 4!.

Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε ότι αν έχουμε ένα σύνολο με ν στοιχεία και επιλέγουμε συνολικά κ στοιχεία, με σημασία στη σειρά, έχουμε συνολικά

$${\mathrm{\Delta }}_{\nu }^{\kappa }=\frac{\nu !}{(\nu -\kappa )!}$$

δυνατότητες. Αν αντικαταστήσουμε στον τύπο τους αριθμούς από τον διαγωνισμό με τους λουκουμάδες:

$${\mathrm{\Delta }}_7^3=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=7\cdot 6\cdot 5=210.$$

Υπολογιστής

Ο παρακάτω υπολογιστής υπολογίζει το πλήθος των διατάξεων για δοσμένα ν και κ.

Λυμένα παραδείγματα

1. Θα μείνουμε στον διαγωνισμό φαγώματος λουκουμάδων. Πώς θα άλλαζε το πλήθος των δυνατών κατατάξεων στο βάθρο, αν ξέραμε ότι στον διαγωνισμό ήρθε ο Στέλιος, που είναι μάστορας και κερδίζει πάντα; Δηλαδή πόσες διαφορετικές κατατάξεις στο βάθρο υπάρχουν, αν έχουμε 7 διαγωνιζόμενους και ο Στέλιος σίγουρα κερδίζει;

Πάλι πρόκειται για απλή διάταξη: η πρώτη θέση είναι σίγουρη και από τους υπόλοιπους 6 διαγωνιζόμενους πρέπει να βρούμε με πόσους τρόπους μπορούν να καλύψουν τη δεύτερη και την τρίτη θέση. Επιλέγουμε λοιπόν 2 στοιχεία από ένα σύνολο 6 στοιχείων, που οδηγεί στη διάταξη

$${\mathrm{\Delta }}_6^2=\frac{6!}{(6-2)!}=30$$

2. Πριν από πολύ καιρό, όταν ο Στέλιος δεν ήταν ακόμα τόσο μάστορας, τερμάτιζε τακτικά ανάμεσα στους τρεις πρώτους. Πόσες διαφορετικές κατατάξεις στο βάθρο υπάρχουν, αν έχουμε 7 διαγωνιζόμενους και ο Στέλιος σίγουρα παίρνει κάποιο μετάλλιο;

   Αυτό το παράδειγμα διαφέρει από το προηγούμενο στο ότι δεν ξέρουμε σε ποια θέση τερμάτισε ο Στέλιος· μπορεί να τερμάτισε δεύτερος ή και τρίτος, πράγμα για το οποίο ντρέπεται ακόμα. Πρέπει λοιπόν να υπολογίσουμε συνολικά τρεις διαφορετικές διατάξεις: την περίπτωση που ο Στέλιος κέρδισε, μετά την περίπτωση που πήρε ασημένιο μετάλλιο και τέλος αυτήν που πήρε χάλκινο. Κάθε φορά όμως μένουν μόνο δύο θέσεις, όπου μπορεί να τερματίσει κάποιος άλλος. Αν ο Στέλιος ήταν για παράδειγμα δεύτερος, οι υπόλοιποι συμμετέχοντες μπορούσαν να τερματίσουν είτε πρώτοι είτε τρίτοι. Υπολογίζουμε λοιπόν πάλι τη διάταξη των 6 ανά 2, απλώς πρέπει να την υπολογίσουμε τρεις φορές, για τις τρεις διαφορετικές θέσεις του Στέλιου. Το πλήθος όλων των κατατάξεων είναι έτσι ίσο με:

   $$3\cdot {\mathrm{\Delta }}_6^2=3\cdot \frac{6!}{(6-2)!}=3\cdot 30=90$$

   Πρόσεξε ότι το τρία μπροστά από τη διάταξη μπορούμε να το γράψουμε ως ${\mathrm{\Delta }}_3^1$, γιατί στην πραγματικότητα επιλέγουμε ένα στοιχείο (μια συγκεκριμένη θέση) από ένα σύνολο τριών στοιχείων (τρεις θέσεις στο βάθρο).

3. Σε ένα σχολείο υπάρχουν συνολικά 20 καθηγητές. Σε λίγο έρχονται οι εξετάσεις και πρέπει να συγκροτηθεί επιτροπή με την εξής σύνθεση: ένας πρόεδρος, ένας καλός επιτηρητής και ένας κακός επιτηρητής. Πόσες δυνατότητες υπάρχουν συνολικά;

   Πρώτα πρέπει να απαντήσουμε στο ερώτημα αν έχει σημασία η σειρά – ναι, έχει, τους τρεις καθηγητές μπορούμε πάλι να τους μοιράσουμε με έξι διαφορετικούς τρόπους. Τώρα είναι απλό – επιλέγουμε διάταξη των 20 στοιχείων ανά 3:

   $${\mathrm{\Delta }}_{20}^3=\frac{20!}{17!}=6840.$$

4. Πόσους τριψήφιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε από τα ψηφία {0, 1, 2, 3, 4, 5}, αν κανένα ψηφίο δεν επιτρέπεται να επαναλαμβάνεται;

   Έχει σημασία η σειρά; Ναι, έχει, το 123 είναι διαφορετικός αριθμός από το 321. Πόσες διαφορετικές τριάδες υπάρχουν; Αυτό είναι απλή διάταξη των 6 ανά 3:

   $${\mathrm{\Delta }}_6^3=\frac{6!}{3!}=120.$$

   Πρέπει όμως να αφαιρέσουμε ακόμα εκείνες τις διατάξεις που έχουν στην πρώτη θέση μηδέν, γιατί το 012 δεν είναι τριψήφιος αριθμός. Το ερώτημα τώρα είναι – πόσες διαφορετικές τριάδες αρχίζουν από μηδέν; Σε αυτήν την περίπτωση εναλλάσσονται ψηφία μόνο στις υπόλοιπες δύο θέσεις (οι τριάδες έχουν τη μορφή (0, x₂, x₃)), οπότε ψάχνουμε πόσα διαφορετικά ζεύγη μπορούμε να φτιάξουμε με τους αριθμούς {1, 2, 3, 4, 5}. Είναι πάλι απλό: ${\mathrm{\Delta }}_5^2=5!/3!=20$. Υπάρχουν λοιπόν 20 τριάδες που αρχίζουν από μηδέν.

   Ο συνολικός αριθμός των τριψήφιων αριθμών που αποτελούνται από τα ψηφία {0, 1, 2, 3, 4, 5} είναι έτσι 120 − 20 = 100.

5. Πόσους διαφορετικούς τριψήφιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε από τα ψηφία {1, 2, 3, 4, 5}, αν κανένα ψηφίο δεν επιτρέπεται να επαναλαμβάνεται και ο αριθμός που προκύπτει πρέπει να είναι περιττός;

   Η σειρά έχει σημασία, γιατί το 123 είναι διαφορετικός αριθμός από το 321. Σχηματίζουμε έναν τριψήφιο αριθμό που είναι περιττός, πράγμα που σημαίνει ότι στις πρώτες δύο θέσεις μπορεί να είναι οποιοδήποτε ψηφίο, αλλά στην τελευταία πρέπει να είναι ένα από τα ψηφία {1, 3, 5}. Πρώτα υπολογίζουμε το πλήθος όλων των τριάδων που μπορούμε να φτιάξουμε από πέντε ψηφία: ${\mathrm{\Delta }}_5^3=5!/2!=60$.

   Κάθε ψηφίο θα εμφανίζεται στην τελευταία θέση το ίδιο συχνά, άρα αν έχουμε 5 ψηφία, κάθε ψηφίο θα εμφανίζεται στην τελευταία θέση 60 / 5 = 12 φορές. Έχουμε τρία ψηφία {1, 3, 5} που μπορούν να εμφανιστούν στην τελευταία θέση, άρα έχουμε 12 διαφορετικούς αριθμούς που τελειώνουν σε 1, 12 αριθμούς που τελειώνουν σε 3 και 12 αριθμούς που τελειώνουν σε 5. Χρησιμοποιούμε την αθροιστική αρχή και παίρνουμε συνολικά 12 + 12 + 12 = 36 δυνατότητες.

6. Υπολόγισε το x, αν ξέρεις ότι ${\mathrm{\Delta }}_x^2=72$. Με άλλα λόγια: από ένα σύνολο μεγέθους x επιλέγουμε ζεύγη και ξέρουμε ότι μπορούμε να επιλέξουμε συνολικά 72 διαφορετικά ζεύγη. Πόσο μεγάλο ήταν το σύνολο από το οποίο επιλέγαμε τα ζεύγη; Θα το αναπτύξουμε:

   $${\mathrm{\Delta }}_x^2=\frac{x!}{(x-2)!}=72$$

   Στη συνέχεια απλοποιούμε:

   $$\begin{array}{rcl}\frac{x!}{(x-2)!}& =& 72\\ \frac{x\cdot (x-1)\cdot (x-2)!}{(x-2)!}& =& 72\\ x\cdot (x-1)& =& 72\\ x^2-x& =& 72\\ x^2-x-72& =& 0\end{array}$$

   Αυτή είναι μια κλασική δευτεροβάθμια εξίσωση, οπότε τη λύνουμε με τη βοήθεια της διακρίνουσας ή μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση στη μορφή

   $$(x+8)\cdot (x-9)=0$$

   από την οποία μπορούμε να διαβάσουμε τη λύση: x₁ = −8 και x₂ = 9. Η αρνητική λύση δεν μας ενδιαφέρει, γιατί ένα σύνολο δεν μπορεί να έχει αρνητικό μέγεθος, άρα λύση της αρχικής εξίσωσης είναι το x = 9, το σύνολο είχε εννέα στοιχεία.