Διωνυμικό θεώρημα

Το διωνυμικό θεώρημα είναι γενίκευση των κλασικών τύπων της μορφής (α + β)² με τη βοήθεια συνδυαστικών τεχνικών.

Κίνητρο

Σίγουρα ξέρεις τους τύπους για τον υπολογισμό των (α + β)² ή (α + β)³:

$$\begin{array}{rcl}(\alpha +\beta {)}^2& =& {\alpha }^2+2\alpha \beta +{\beta }^2\\ (\alpha +\beta {)}^3& =& {\alpha }^3+3{\alpha }^2\beta +3\alpha {\beta }^2+{\beta }^3\end{array}$$

Και το φυσικό ερώτημα είναι αν μπορούμε να γενικεύσουμε αυτούς τους τύπους για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό ν, δηλαδή αν μπορούμε να υπολογίσουμε το (α + β)^ν;

Εξαγωγή

Φυσικά μπορούμε, και για αυτό ακριβώς χρησιμεύει το διωνυμικό θεώρημα. Ας δούμε πώς θα συνεχιζόταν αυτό το ανάπτυγμα για ν = 4 και ν = 5.

$$\begin{array}{rcl}(\alpha +\beta {)}^4& =& {\alpha }^4+4{\alpha }^3\beta +6{\alpha }^2{\beta }^2+4\alpha {\beta }^3+{\beta }^4\\ (\alpha +\beta {)}^5& =& {\alpha }^5+5{\alpha }^4\beta +10{\alpha }^3{\beta }^2+10{\alpha }^2{\beta }^3+5\alpha {\beta }^4+{\beta }^5\end{array}$$

Θα έπρεπε ήδη να βλέπεις ένα συγκεκριμένο πρότυπο. Αν έχουμε την παράσταση (α + β)^ν, τότε στο δεξί μέλος αρχίζουμε πάντα με τον όρο α^ν. Ο δεύτερος όρος περιέχει επίσης τη μεταβλητή α, αλλά ο εκθέτης είναι κατά ένα μικρότερος. Για παράδειγμα: στο ανάπτυγμα του (α + β)⁴ έχουμε στο δεξί μέλος στον πρώτο όρο α⁴ και στον δεύτερο α³. Κάθε επόμενος όρος περιέχει τη μεταβλητή α με εκθέτη κατά ένα μικρότερο από τον προηγούμενο όρο. Η μεταβλητή β αντίθετα αυξάνεται. Στην αρχή δεν έχουμε τη μεταβλητή β, ή μάλλον την έχουμε, αλλά με εκθέτη μηδέν: β⁰ = 1. Στον δεύτερο όρο το β έχει εκθέτη ένα, μετά δύο κ.ο.κ.

Μέσα σε όλα αυτά ισχύει ο απλός κανόνας ότι το άθροισμα των εκθετών πρέπει να είναι πάντα ίσο με ν. Αν λάβουμε υπόψη το τελευταίο ανάπτυγμα (α + β)⁵, τότε για παράδειγμα ο τρίτος όρος είναι 10α³ · β² και το άθροισμα των εκθετών στις μεταβλητές α και β είναι ακριβώς 5.

Το τελευταίο ερώτημα είναι ποιοι θα είναι οι συντελεστές (οι αριθμοί μπροστά από τις μεταβλητές) σε κάθε όρο. Σίγουρα προσέχεις ότι αυτοί οι συντελεστές είναι συμμετρικοί: στο (α + β)⁴ έχουμε συντελεστές 1, 4, 6, 4, 1, στο (α + β)⁵ έχουμε: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Υπενθυμίζω ότι α⁴ = 1 · α⁴, γι' αυτό γράφω εκεί το ένα, ακόμη κι αν δεν το αναγράφω ρητά στους τύπους. Μια ακόμη σχέση θα τη δείξουμε στο τρίγωνο του Pascal.

Τρίγωνο του Pascal

Το τρίγωνο του Pascal είναι ένα έξυπνο βοήθημα στον υπολογισμό του αναπτύγματος σύμφωνα με το διωνυμικό θεώρημα. Το τρίγωνο του Pascal σχηματίζεται από αριθμούς και ισχύει ότι ο αριθμός που βρίσκεται κάτω από δύο άλλους αριθμούς είναι ίσος με το άθροισμά τους. Ακούγεται δύσκολο, αλλά από το ίδιο το τρίγωνο θα γίνει σαφές:

Κοίτα για παράδειγμα τον αριθμό τέσσερα. Πάνω από αυτόν τον αριθμό βρίσκονται οι αριθμοί 1 και 3. Και το άθροισμα 1+3 δίνει ακριβώς 4. Παρόμοια για τους υπόλοιπους αριθμούς.

Και πώς θα χρησιμοποιήσουμε το τρίγωνο του Pascal; Αν κοιτάξεις τους αριθμούς στις επιμέρους γραμμές, θα διαπιστώσεις ότι σου θυμίζουν πολύ τους συντελεστές στο τελικό διωνυμικό ανάπτυγμα. Για παράδειγμα στο (α + β)² έχουμε συντελεστές 1, 2, 1, που είναι ακριβώς η δεύτερη γραμμή. Για το (α + β)⁴ έχουμε συντελεστές 1, 4, 6, 4, 1, που είναι ακριβώς η τέταρτη γραμμή. Αν χρειάζεται να υπολογίσουμε το (α + β)^ν, αρκεί να κοιτάξουμε την ν-οστή γραμμή του τριγώνου του Pascal.

Ορισμός του διωνυμικού θεωρήματος

Τυπικά το διωνυμικό θεώρημα λέει το εξής:

$$(\alpha +\beta {)}^{\nu }=\sum _{\kappa =0}^{\nu }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\nu }{\kappa }){\alpha }^{\nu -\kappa }{\beta }^{\kappa }\alpha ,\beta \in \mathbb{R};\nu \in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Το άθροισμα το υπολογίζουμε από το μηδέν μέχρι και το ν. Δηλαδή το τελικό πλήθος των προσθετέων είναι ν + 1. Αυτό που είναι μέσα στην παρένθεση είναι ο διωνυμικός συντελεστής, έννοια της συνδυαστικής που παριστάνει το πλήθος των διαφορετικών συνδυασμών, από τους οποίους μπορούμε να πάρουμε τον δοσμένο όρο του διωνυμικού αναπτύγματος. Τα υπόλοιπα είναι απλώς οι μεταβλητές με τους κατάλληλους εκθέτες. Πρόσεξε ότι το άθροισμα των εκθετών πραγματικά είναι ίσο με ν: ν − κ + κ = ν.

Παραδείγματα

Ένα απλό παράδειγμα: υπολόγισε με τη βοήθεια του διωνυμικού θεωρήματος το (α + 2β)⁴. Πρώτα κοιτάμε στο τρίγωνο του Pascal την τέταρτη γραμμή. Αυτή μας λέει ότι οι συντελεστές θα έχουν τη μορφή: 1, 4, 6, 4, 1. Τώρα μένει μόνο να συμπληρώνουμε διαδοχικά τους εκθέτες. Στον πρώτο όρο θα υπάρχει μόνο α⁴:

$$(\alpha +2\beta {)}^4={\alpha }^4+\dots$$

Στον δεύτερο όρο έχουμε τους εκθέτες κατανεμημένους στο ζεύγος 3, 1, δηλαδή παίρνουμε α³(2β)¹. Η ύψωση στην πρώτη δεν κάνει τίποτα στην παράσταση, επομένως μπορούμε να γράψουμε α³2β. Ο συντελεστής στον δεύτερο όρο είναι 4:

$$(\alpha +2\beta {)}^4={\alpha }^4+4{\alpha }^{3}2\beta +\dots$$

Ο τρίτος όρος θα έχει εκθέτες 2, 2. Εδώ λίγη προσοχή, υψώνουμε ολόκληρο το 2β, δηλαδή ως εξής: (2β)², που είναι ίσο με: (2β)² = 4β². Το γράφουμε στο ανάπτυγμα με συντελεστή 6:

$$(\alpha +2\beta {)}^4={\alpha }^4+4{\alpha }^{3}2\beta +6{\alpha }^{2}4{\beta }^2+\dots$$

Ο τέταρτος όρος θα έχει τη μορφή α(2β)³. Μετά την ύψωση παίρνουμε α8β³. Το γράφουμε με συντελεστή 4:

$$(\alpha +2\beta {)}^4={\alpha }^4+4{\alpha }^{3}2\beta +6{\alpha }^{2}4{\beta }^2+4\alpha 8{\beta }^3+\dots$$

Και ο τελευταίος όρος θα είναι πια μόνο (2β)⁴ = 16β⁴:

$$(\alpha +2\beta {)}^4={\alpha }^4+4{\alpha }^{3}2\beta +6{\alpha }^{2}4{\beta }^2+4\alpha 8{\beta }^3+16{\beta }^4.$$

Τώρα μένει μόνο να το τακτοποιήσουμε λίγο. Στον όρο 4α³2β μπορούμε να βάλουμε το δύο στην αρχή του όρου και να πολλαπλασιάσουμε 2 · 4 = 8. Έτσι προκύπτει 8α³β. Αν το κάνουμε αυτό και στους υπόλοιπους, παίρνουμε το αποτέλεσμα:

$$(\alpha +2\beta {)}^4={\alpha }^4+8{\alpha }^3\beta +24{\alpha }^2{\beta }^2+32\alpha {\beta }^3+16{\beta }^4.$$

Πρόσεξε, παρακαλώ, ότι αυτή τη στιγμή οι συντελεστές δεν συμφωνούν πια με τους αριθμούς στο τρίγωνο του Pascal.