Raisonnement par l’absurde

Le raisonnement par l’absurde est une technique de démonstration très appréciée. Si l’on veut démontrer qu’une proposition est vraie, on écrit sa négation, on suppose que cette négation est vraie, et on essaie d’aboutir à une contradiction. Le but est de montrer que l’hypothèse que nous avons choisie mène à une absurdité.

Un exemple trivial

Prenons l’affirmation « il n’existe pas de plus petit nombre rationnel strictement positif ». Pour la démontrer par l’absurde, on commence par écrire sa négation : « il existe un plus petit nombre rationnel strictement positif », et on note ce nombre q. Si q est le plus petit nombre rationnel strictement positif, alors on ne peut pas en trouver un plus petit – sinon q ne serait pas le plus petit.

C’est ce qu’on va exploiter pour chercher la contradiction. Si l’on trouve malgré tout un nombre plus petit que q, que l’on peut choisir comme on veut, alors on a abouti à une contradiction et la négation est fausse. Si l’on choisit par exemple 0,1 comme plus petit nombre, on voit que 0,01 est plus petit. Ensuite 0,001 est encore plus petit, 0,0001 l’est aussi, et ainsi de suite. Il suffit de diviser le nombre q par dix pour obtenir un nombre plus petit. En fait, on peut le diviser par n’importe quel nombre supérieur à un, par exemple par deux : la moitié de q est forcément plus petite que q tout entier.

Le nombre q/2 est donc plus petit que q, et c’est bien un nombre rationnel strictement positif. On aboutit ainsi à une contradiction avec la négation de l’affirmation : la négation est fausse, donc l’affirmation de départ est vraie.

Les nombres intéressants

Voici un exemple classique, plutôt drôle, qui illustre le principe de la contradiction. Supposons qu’il existe des entiers naturels qui sont « intéressants » d’une manière ou d’une autre. Par exemple, le nombre 2 est intéressant, car 2 · 2 = 2 + 2, une propriété assez rare. Le nombre 42 est intéressant, car c’est la réponse à tout. Et ainsi de suite. La question est : existe-t-il une infinité de nombres intéressants ?

Supposons le contraire, c’est-à-dire qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres intéressants et que certains nombres sont sans intérêt. On range ces entiers naturels sans intérêt dans l’ensemble des nombres inintéressants. Choisissons maintenant le plus petit nombre inintéressant. Attends, le plus petit nombre inintéressant ? Voilà qui est plutôt intéressant, non ? :-)

On aboutit donc à une contradiction : le plus petit nombre inintéressant est en réalité assez intéressant, donc il ne peut pas exister de plus petit nombre inintéressant, et l’ensemble des nombres inintéressants est nécessairement vide.

Bien sûr, c’est absurde : on n’a pas défini correctement ce qu’est un nombre intéressant, mais la démarche de la démonstration, elle, est correcte.

Démonstration de l’infinité des nombres premiers

Dans cet exemple, nous allons procéder de façon semblable à celle du chapitre précédent, mais cette fois tout sera correct.

Un nombre premier est un nombre qui n’est divisible que par deux nombres distincts : lui-même et un. Remarque que 1 ne vérifie pas cette définition, alors que 2 la vérifie.

La décomposition en produit de facteurs premiers, ou factorisation, consiste à écrire un entier naturel supérieur ou égal à 2 sous forme de produit de nombres premiers. C’est une propriété assez remarquable des entiers naturels : quel que soit l’entier naturel non nul que tu prends (sauf 1), on peut l’écrire comme un produit de plusieurs nombres premiers (éventuellement égaux). Exemples :

$$\begin{array}{rcl}8& =& 2\cdot 2\cdot 2\\ 15& =& 3\cdot 5\\ 26& =& 2\cdot 13\\ 1800& =& 2^3\cdot 3^2\cdot 5^2\end{array}$$

L’énoncé sur la décomposition en facteurs premiers s’appelle le théorème fondamental de l’arithmétique. Il nous dit entre autres que cette décomposition est unique, c’est-à-dire qu’on ne trouvera pas deux décompositions différentes d’un même entier naturel. De plus, seuls les nombres premiers ont une décomposition formée d’un seul nombre : eux-mêmes. La décomposition de sept est donc simplement le nombre sept. Nous utiliserons ces faits pour construire la démonstration de l’affirmation suivante.

Nous allons maintenant démontrer l’affirmation « il existe une infinité de nombres premiers ». Écrivons à nouveau sa négation : « le nombre de nombres premiers est fini ». Supposons que la suite de nombres

$$u_1,u_2,u_3,\dots ,u_n$$

représente tous les nombres premiers qui existent. Si cette suite contient tous les nombres premiers, alors on ne pourra certainement pas trouver un nombre premier qui n’appartienne pas à cette suite. Tous les nombres premiers sont dans la suite, et aucun nombre premier ne doit se trouver en dehors.

Pour aboutir à une contradiction, il faut donc construire un nombre premier qui ne figure pas dans cette suite. Le nombre q va nous y aider. On le construit en multipliant tous les nombres premiers de la suite et en ajoutant un :

$$q=u_1\cdot u_2\cdot u_3\cdot \dots \cdot u_n+1$$

Nous devons maintenant montrer que ce nombre est premier ou qu’il « engendre » d’une manière ou d’une autre un nombre premier. On sait que q est un entier naturel non nul et que tout entier naturel non nul peut s’écrire comme un produit de nombres premiers. Pourtant, aucun nombre premier u_i ne divise q : la division laisse toujours un reste de un. Si l’on essayait de diviser q, par exemple, par le nombre premier u₂, on obtiendrait ceci :

$$\frac{u_1\cdot u_2\cdot u_3\cdot \dots \cdot u_n+1}{u_2}=\frac{u_1\cdot u_2\cdot u_3\cdot \dots \cdot u_n}{u_2}+\frac{1}{u_2}=$$

$$=u_1\cdot u_3\cdot u_4\cdot \dots \cdot u_n+\frac{1}{u_2}$$

On commence par séparer la fraction en deux. Dans la première, on simplifie par u₂ et il reste un produit de nombres premiers, c’est-à-dire simplement un autre entier sans importance. Dans la seconde, il n’y a rien à simplifier : cette fraction sera toujours un nombre non entier (car le dénominateur ne peut pas valoir un, puisque 1 n’est pas premier). La somme est donc un nombre qui n’est pas entier, et le nombre premier u₂ ne divise donc pas q.

On a ainsi démontré qu’aucun des nombres premiers de la suite u_n ne divise q. (Remarque : on ne l’a montré que pour u₂, mais on peut facilement généraliser en remplaçant u₂ par un u_i quelconque.) Mais comme tout entier naturel non nul peut se décomposer en produit de nombres premiers, il doit exister d’autres nombres premiers, qui ne sont pas dans la suite u_n, mais qui apparaissent dans la décomposition de q. Le nombre q lui-même peut très bien être premier, et sa décomposition ne contient alors que q. Récapitulons une dernière fois le raisonnement :

1. Tout entier naturel non nul peut s’écrire comme un produit de nombres premiers.
2. Par hypothèse, la suite u_n contient tous les nombres premiers qui existent.
3. On modifie la première affirmation : tout entier naturel non nul peut s’écrire comme un produit de termes choisis de la suite u_n, puisque celle-ci contient tous les nombres premiers.
4. On a démontré qu’aucun nombre de la suite u_n ne divise q.
5. On obtient donc une contradiction avec l’hypothèse → si l’on doit pouvoir décomposer tout entier naturel non nul en produit de nombres premiers et que la suite u_n ne contient aucun nombre qui divise q, alors il doit exister d’autres nombres premiers qui divisent q et qui forment la décomposition de q en facteurs premiers.

On aboutit ainsi à une contradiction. La décomposition de q fait intervenir des nombres premiers qui ne sont pas dans la suite, dont on avait supposé qu’elle contenait tous les nombres premiers. La négation est donc fausse, et l’affirmation de départ est vraie : il existe une infinité de nombres premiers.