Nombres premiers
Les nombres premiers sont les nombres divisibles uniquement par 1 et par eux-mêmes. Leurs propriétés sont très utilisées, par exemple en cryptographie.
Définition et exemples
Un nombre premier est un entier naturel divisible, sans reste, uniquement par 1 et par lui-même, et 1 n’est pas un nombre premier. Le plus petit nombre premier est 2 : il est divisible sans reste par 1 et par 2. C’est aussi le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres premiers sont impairs, car tout autre nombre pair est divisible non seulement par 1 et par lui-même, mais aussi par 2.
Voici les premiers nombres premiers : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97 ; 101 ; 103 ; 107 ; 109 ; 113 ; 127 ; 131 ; 137 ; 139 ; 149 ; 151 ; 157 ; 163 ; 167 ; 173 ; 179 ; 181 ; 191 ; 193 ; 197 ; 199 ; 211 ; 223 ; 227 ; 229 ; 233 ; 239 ; 241 ; 251 ; 257 ; 263 ; 269 ; 271…
Les nombres premiers sont liés au théorème fondamental de l’arithmétique, qui dit que tout entier supérieur à 1 se décompose en un produit de nombres premiers.
Teste si un nombre est premier
Propriétés des nombres premiers
- Il existe une infinité de nombres premiers. La preuve se trouve dans l’article sur le raisonnement par l’absurde.
- Pour tout entier z>1, il existe au moins un nombre premier dans l’intervalle ]z ; 2z[. Exemple : pour z = 2, on obtient l’intervalle ]2 ; 4[. Le seul entier de cet intervalle est 3, et c’est un nombre premier. Pour z = 5, on obtient l’intervalle ]5 ; 10[, donc les nombres 6 ; 7 ; 8 ; 9. Le nombre 7 est premier. Et de même pour les valeurs plus grandes de z.
- Un nombre premier de Mersenne est un nombre premier qui est inférieur d’une unité à une puissance entière de 2. Un nombre premier de Mersenne M a donc la forme M = 2z − 1, où z est un entier naturel. Par exemple, 3 est un nombre premier de Mersenne, car 22 − 1 = 3. Et 7 aussi, car 23 − 1 = 7.
- Les plus grands nombres premiers connus sont généralement des nombres de Mersenne. Ainsi, le 23 août 2008, on a trouvé le nombre premier de Mersenne M43112609, où l’indice désigne l’exposant z. C’est donc le nombre premier 243112609 − 1, qui compte 12 978 189 chiffres et qui était alors le plus grand nombre premier connu.
Une suite de nombres sans nombre premier
On peut trouver une liste d’entiers naturels consécutifs, aussi longue qu’on veut, dans laquelle il n’y a aucun nombre premier. Une telle liste peut avoir la forme k!+2 ; k!+3 ; … ; k!+k et contient k − 1 nombres composés consécutifs (le point d’exclamation désigne la factorielle).
Par exemple, pour k = 6, on obtient cinq nombres composés consécutifs : 720 + 2 ; 720 + 3 ; 720 + 4 ; 720 + 5 ; 720 + 6. Ces nombres sont divisibles respectivement par deux, trois, quatre, cinq et six, car le nombre 6! = 720 est divisible par tous ces nombres, puisqu’il est leur produit : 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2. Si 720 est divisible par trois, alors 720 + 3 l’est forcément aussi. Et de même pour les autres.
Petit théorème de Fermat
Pour tout nombre premier p et tout entier z, le nombre zp − z est divisible par p.
Exemple : prenons le nombre premier p = 3 et l’entier z = 4. Calculons 43 − 4. On obtient 60. Or 60/3 = 20, donc trois divise soixante sans reste, ce qui est conforme au théorème de Fermat. Autre exemple : p = 7 et z = 10. On calcule le résultat intermédiaire 107 − 10 = 9999990 et on divise ce nombre par sept : 9999990/7 = 1428570. Une fois de plus, la division tombe juste.
Questions ouvertes
De nombreuses conjectures célèbres sur les nombres premiers n’ont toujours pas pu être démontrées ni réfutées (en 2011). Voici les deux plus connues :
- Infinité des nombres premiers jumeaux : des nombres premiers jumeaux forment un couple (z ; z + 2) où les deux nombres sont premiers. Par exemple (3 ; 5) ou (29 ; 31). On se demande s’il existe une infinité de tels couples. On le suppose, mais la preuve manque.
- Hypothèse de Riemann : tous les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont une partie réelle égale à
