Comment résoudre des suites de nombres

Les suites de nombres (ou suites logiques) se rencontrent dans toutes sortes de tests de logique. On te donne une suite de nombres et ta mission est de compléter la suite par le nombre qui devrait logiquement suivre. Dans cet article, nous allons voir comment résoudre de telles suites.

L’énoncé

Un énoncé classique d’exercice sur les suites de nombres ressemble à ceci :

$$2;4;6;8;10;?$$

Ta mission est de trouver le nombre que l’on peut mettre à la place du point d’interrogation pour que cela ait le plus de sens possible. Il faut donc trouver une propriété caractéristique qui relie les nombres donnés et s’en servir pour calculer le nombre manquant. Ici, le résultat est le nombre 12, car chaque nombre de la suite est toujours supérieur de 2 au précédent.

La solution n’est pas toujours unique. On peut dire que l’on peut mettre n’importe quel nombre à la place du point d’interrogation, pourvu qu’on sache justifier ce choix.

Addition et multiplication

Parmi les suites les plus simples, on trouve celles où l’on ajoute toujours le même nombre. Exemples :

$$3;10;17;24;?$$

Ici, on ajoute toujours 7, donc à la place du point d’interrogation il y aura 31. Autre exemple :

$$-8;-5;-2;1;?$$

On ajoute toujours 3, le nombre suivant de la suite sera 4. Autre exemple :

$$17;8;-1;-10;?$$

Dans cette suite, on ajoute −9, c’est-à-dire qu’on retranche 9. Le suivant sera −19. Autre exemple :

$$2;4;8;16;?$$

Ici, on n’additionne plus, on multiplie. Chaque nombre est le double du précédent, donc le résultat sera 32. Autre exemple :

$$27;9;3;1;?$$

Dans cette suite, au contraire, on divise, par trois. Le résultat sera $\frac{1}{3}$. On peut aussi ajouter un nombre qui n’est pas constant :

$$2;4;7;9;12;?$$

On alterne les ajouts de +2 et de +3. Ainsi, à 2 on ajoute +2 et on obtient 4. Puis on ajoute +3 et on a 7. Etc. À 12 on ajoute 2 et on a 14. Autre exemple :

$$5;6;8;11;15;20;?$$

Dans cette suite, on ajoute à chaque étape un nombre supérieur de un à celui de l’étape précédente, en commençant par +1. Donc 5 + 1 = 6, 6 + 2 = 8, 8 + 3 = 11, etc. À la fin, on ajoute 6, donc le résultat est 20 + 6 = 26. Autre exemple :

$$1;2;6;12;36;72;?$$

On alterne les multiplications par deux et par trois. 1 × 2 = 2, 2 × 3 = 6, 6 × 2 = 12, etc. À la fin, on multiplie par trois, donc le résultat est 216.

Suites entremêlées

On peut aussi combiner des suites et des opérations. On peut ainsi utiliser tantôt l’addition, tantôt la multiplication :

$$3;12;14;56;58;232;?$$

Ici, on commence par multiplier par quatre, puis à l’étape suivante on ajoute deux. Donc : 3 × 4 = 12, 12 + 2 = 14, 14 × 4 = 56, etc. À la fin, on ajoute deux, donc le résultat est 234. Un exemple semblable :

$$3;9;5;15;11;33;29;?$$

On commence par multiplier par trois, puis on retranche quatre. Donc : 3 × 3 = 9, 9 − 4 = 5, 5 × 3 = 15, etc. À la fin, on multiplie par trois, le résultat est 87.

On peut combiner des suites de façon à ce que, dans une même suite, il y en ait en réalité deux, chacune avec sa propre propriété caractéristique. Exemple :

$$2;1;4;6;8;11;16;16;32;?$$

Aux positions impaires, on a la suite connue 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32, c’est-à-dire que chaque nombre est le double du précédent, et aux positions paires, on a la suite 1 ; 6 ; 11 ; 16 ; ?. Dans celle-ci, on ajoute toujours cinq. Le résultat est donc le nombre 16 + 5 = 21. Encore un exemple :

$$2;7;3;11;5;15;8;19;12;?$$

Dans cette suite, on peut trouver deux sous-suites. Aux positions impaires, on a 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 12, une suite où l’on ajoute à chaque étape un nombre supérieur de un à celui de l’étape précédente. Et aux positions paires, on a : 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; ?. Ici, on ajoute simplement quatre. Le résultat est 23.

Suites classiques

Il existe quelques suites classiques qui méritent d’être mentionnées. Commençons :

• 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121 ; 144 ; … – la suite des carrés des entiers naturels non nuls. Ce qui s’écrit aussi : 1² ; 2² ; 3² ; 4² ; 5² ; … Si tu vois dans une suite certains de ces nombres, surtout parmi les plus grands, il y a de bonnes chances que les carrés jouent un rôle.

• 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; … – c’est la célèbre suite de Fibonacci. Chaque nombre est défini comme la somme des deux précédents. Ainsi, en remontant : 21 = 8 + 13, 13 = 5 + 8, 8 = 3 + 5, etc. Les deux premiers nombres, zéro et un, sont fixés d’avance.

• 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; … – la suite des nombres premiers. Attention seulement : le nombre un n’est pas un nombre premier.

• 1 ; 2 ; 6 ; 24 ; 120 ; 720 ; 5040 ; 40320 ; … – la suite des factorielles. Le nombre en n-ième position est le produit 1 × 2 × 3 × … × n. Par exemple, en quatrième position se trouve le nombre 24, qui vaut 1 × 2 × 3 × 4 = 24.

Autres types de suites

Exemple :

$$17;3;6;14;-3;23;19;?$$

La solution est que si l’on additionne les nombres en première et deuxième position, on obtient vingt : 17 + 3 = 20. Il en va de même pour les paires suivantes : 6 + 14 = 20, −3 + 23 = 20, 19+? = 20. À la place du point d’interrogation, il faut donc mettre le nombre un. Autre exemple :

$$?;7;12;4;5;9;6;-1;5$$

Dans cette suite, on regroupe les nombres par trois a ; b ; c, avec la relation a + b = c. Donc ?+7 = 12 et 4 + 5 = 9. À la place du point d’interrogation, il faut donc mettre 5. Autre exemple :

$$2;4;10;28;?$$

Ici, on a réuni deux opérations : multiplication et soustraction. On obtient le nombre suivant en multipliant le précédent par trois, puis en retranchant deux. On a donc : 4 = 2 × 3 − 2, 10 = 4 × 3 − 2, 28 = 10 × 3 − 2. Le suivant dans la suite est 28 × 3 − 2 = 82.