Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est formé de nombres, et chaque nombre qui se trouve sous deux autres nombres est égal à leur somme. Construisons un tel triangle de Pascal, puis voyons à quoi il peut servir.

Comment construire le triangle de Pascal

Sur les côtés de notre triangle, nous n’écrivons que des un, et nous remplissons pour l’instant l’intérieur du triangle avec des points d’interrogation :

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Calculons maintenant le premier point d’interrogation : nous additionnons les deux nombres au-dessus, ce qui donne 1 + 1 = 2 :

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

De la même façon, nous calculons les points d’interrogation de la ligne suivante. On obtient d’abord 1 + 2 = 3 :

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Puis on obtient 2 + 1 = 3 :

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Nous continuons ainsi, et chaque nouvelle ligne nous donne une nouvelle partie du triangle de Pascal :

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Le triangle de Pascal est bien sûr infini : on peut toujours créer de nouvelles lignes. Mais il est toujours vrai que les bords sont des un et que l’intérieur du triangle contient des nombres obtenus comme somme des nombres situés au-dessus. Par exemple, le nombre 15 de la dernière ligne est la somme des nombres 5 et 10 situés au-dessus de lui.

Propriétés de base du triangle de Pascal

Nous avons déjà énoncé la première propriété de base : sur les côtés du triangle, il y a toujours des un :

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

Dans la « deuxième diagonale », on trouve toujours tous les entiers naturels non nuls :

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

As-tu remarqué au passage que le triangle de Pascal est symétrique ? Chaque ligne est la même, qu’on la lise de gauche à droite ou de droite à gauche.

Nombres triangulaires

Dans la troisième diagonale, on a ensuite les nombres 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Qu’ont-ils d’intéressant ? Ces nombres s’appellent les nombres triangulaires. Imagine que tu aies plusieurs disques et que tu veuilles les disposer en forme de triangle. De combien de disques aurais-tu besoin ? Regarde la figure suivante :

Nous voyons que pour un triangle de côté 1, il faut exactement un disque. Pour un côté de longueur deux, il faut trois disques, pour une longueur trois, il faut six disques et pour une longueur quatre, il faut dix disques. Le nombre de disques nécessaires est toujours un nombre triangulaire, que l’on retrouve dans le triangle de Pascal.

Somme des lignes

Et si nous essayions d’additionner chaque ligne du triangle de Pascal ?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Nous voyons que la somme de chaque ligne est le double de la somme de la ligne précédente. Toutes les sommes sont donc égales à une puissance de deux. Si nous appelons la ligne du haut la ligne zéro, nous pouvons écrire que la somme de la n-ième ligne du triangle de Pascal est égale à 2ⁿ.

Nombres premiers

Appelons la ligne du haut du triangle la ligne zéro. Alors, si nous choisissons une n-ième ligne, où n est un nombre premier, tous les nombres de cette ligne sont divisibles par n (sauf les un des bords).

Prenons par exemple n = 5. Le nombre cinq est un nombre premier. La cinquième ligne ressemble à ceci :

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Chacun de ces nombres encadrés est divisible par cinq.

Formule du binôme de Newton

Tu connais sûrement les formules pour calculer (a + b)² ou (a + b)³ :

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

On peut remarquer que les coefficients des différents termes correspondent aux nombres du triangle de Pascal. Regardons par exemple l’expression

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Pour commencer, écrivons explicitement le coefficient un devant les termes a³ et b³, pour que ce soit plus clair :

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

À présent, nous voyons que les coefficients par lesquels on multiplie les termes sont exactement les nombres de la troisième ligne du triangle de Pascal (si l’on compte la ligne du haut comme la ligne zéro) :

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

Ce phénomène fait toutefois l’objet d’un article à part, consacré à la formule du binôme de Newton.