Entiers naturels
Les entiers naturels sont les nombres que l’on rencontre le plus souvent dans la vie courante. Ce sont les nombres entiers positifs ou nuls : 0, 1, 2, 3, 4, …
Notation
Les entiers naturels forment un ensemble qui contient les entiers relatifs positifs ou nuls 0, 1, 2, 3, 4, … On note généralement cet ensemble avec la lettre N dont le premier jambage est doublé : ℕ. C’est l’initiale de « naturel ».
Selon les pays et les manuels, le zéro est ou n’est pas considéré comme un entier naturel. En France, il en fait partie : ℕ contient 0. Quand on veut l’exclure, on utilise l’étoile et l’on écrit ℕ*, l’ensemble des entiers naturels non nuls.
On utilise les entiers naturels surtout pour dénombrer (« nous avons trois chaises à la maison », « il y a trente bancs dans le parc », …) et pour indiquer un rang (« le premier homme sur la Lune », « le Canada est le deuxième plus grand pays du monde », …).
Propriétés
Les entiers naturels ont quelques propriétés intéressantes :
- L’ensemble des entiers naturels est infini, mais il est dénombrable : on peut tous les ranger dans une suite.
- Les entiers naturels sont stables par addition et par multiplication. Cela signifie que si l’on multiplie ou additionne deux entiers naturels quelconques, on obtient encore un entier naturel.
- Ils ne sont pas stables par soustraction : si l’on retranche un nombre plus grand d’un nombre plus petit, on obtient un nombre négatif.
- De même, ils ne sont pas stables par division : par exemple 7/2 n’est pas un entier naturel.
Division euclidienne
Dans la partie précédente, nous avons vu que les entiers naturels ne sont pas stables par division. On peut cependant définir la division euclidienne (la division avec reste), que tu connais sûrement. Si l’on divise 7/2, on obtient 3,5. Avec la division euclidienne, on obtient un quotient de 3 et un reste de 1. Autrement dit, si l’on multiplie 3 · 2 et que l’on ajoute le reste, on retrouve 7 : 3 · 2 + 1 = 7.
Contrairement à la division ordinaire, la division euclidienne ne fait pas sortir de ℕ : le quotient et le reste sont tous deux des entiers naturels, puisque le reste peut être nul (et le quotient aussi).
La définition de la division euclidienne s’écrit ainsi :
Dans la définition, nous avons divisé a:b ; le nombre r s’appelle le reste de la division et q le quotient. Que signifient les conditions ? Nous nous plaçons dans les entiers naturels, zéro compris, mais comme on ne peut pas diviser par zéro, on choisit b dans l’ensemble privé de 0.
Prenons un exemple, le calcul de 19 : 5. On aurait a = 19 et b = 5. La décomposition s’écrirait ainsi :
Donc q = 3 est le quotient et r = 4 est le reste.
