Valeur absolue

La valeur absolue d’un nombre est toujours un nombre positif ou nul, c’est-à-dire supérieur ou égal à zéro. Pour calculer la valeur absolue d’un nombre strictement positif, on obtient toujours le même nombre. En revanche, pour trouver la valeur absolue d’un nombre négatif, on obtient son opposé (donc pour x tel que x < 0, la valeur absolue est −x). La valeur absolue se note avec deux barres verticales : |x|.

Propriétés de base

Même s’il semble que calculer avec des valeurs absolues soit un jeu d’enfant, c’est plutôt le contraire : elles réussissent en général à compliquer une fonction pourtant facile. Voir par exemple les équations du premier degré avec valeur absolue. Voici encore quelques exemples :

$$\begin{array}{rcl}|5|& =& 5\\ |0|& =& 0\\ |-12|& =& 12\\ |3,14|& =& 3,14\\ |-2,71|& =& 2,71\end{array}$$

La valeur absolue a les propriétés suivantes, pour tous les nombres x, a, b de l’ensemble des nombres réels :

1. |x| ≥ 0
2. |a · b| = |a| · |b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b

Pour les nombres complexes, on parle de module, qui se calcule à part.

Courbes représentatives

Les courbes représentatives des fonctions avec valeur absolue ont la particularité de former un « pic », c’est-à-dire un point anguleux. En ce point, la fonction n’est pas dérivable.