Théorème fondamental de l’arithmétique

Le théorème fondamental de l’arithmétique nous dit que tout entier naturel supérieur à 1 se décompose de manière unique en un produit de nombres premiers. Par exemple, le nombre 15 se décompose en un produit de deux nombres premiers 3 · 5, le nombre 30 en un produit de trois nombres premiers 2 · 3 · 5, et le nombre 16 en un produit de quatre nombres premiers 2 · 2 · 2 · 2. Un tel produit s’appelle la décomposition en produit de facteurs premiers. On dit donc que la décomposition en produit de facteurs premiers de 10 est 2 · 5.

La décomposition la plus simple est celle des nombres premiers eux-mêmes, car il n’y a rien à décomposer. La décomposition de 7 en produit de facteurs premiers est tout simplement 7.

Calcule une décomposition en facteurs premiers

Ce que nous dit le théorème fondamental de l’arithmétique

Le théorème fondamental de l’arithmétique nous dit donc deux choses :

• pour tout entier naturel supérieur à 1, on peut trouver une décomposition en produit de facteurs premiers,
• chaque nombre a une seule décomposition en produit de facteurs premiers.

Démontrons que c’est bien le cas.

Preuve de l’existence

Montrons d’abord que, pour tout entier naturel supérieur à 1, il existe bien au moins une décomposition en produit de facteurs premiers. Nous allons utiliser pour cela la récurrence. La première étape (l’initialisation) consiste à remarquer que le plus petit entier naturel supérieur à 1, c’est-à-dire 2, est un nombre premier.

Montrons maintenant que, si l’on dispose d’une liste de nombres 2 ; … ; n qui ont tous une décomposition en facteurs premiers, alors le nombre n + 1, ajouté à cette liste, en a une lui aussi. Voyons d’abord un exemple.

Au début, notre liste 2 ; … ; n est un peu dégénérée, car elle ne contient qu’un seul nombre, le nombre 2. Si l’on ajoute à cette liste le nombre n + 1, c’est-à-dire 3, ce nombre aura une décomposition en facteurs premiers. Comme 3 est un nombre premier, il a évidemment une décomposition : c’est 3.

Notre liste 2 ; … ; n compte maintenant deux éléments : 2 ; 3. Ajoutons le nombre 4. Le nombre 4 n’est pas premier, on peut donc l’écrire comme produit de deux autres entiers naturels, tous deux supérieurs à 1 mais inférieurs à 4. Or tous ces nombres font partie de notre liste ! Et cette liste ne contient que des nombres qui ont une décomposition en facteurs premiers ! Le nombre 4 doit donc lui aussi avoir une décomposition : 2 · 2.

Revenons à la preuve générale. Le nombre 2 est premier, il a donc une décomposition en facteurs premiers. Supposons maintenant que chaque nombre de la liste 2 ; … ; n se décompose en facteurs premiers : c’est notre hypothèse de récurrence. Alors le nombre n + 1 est soit un nombre premier, qui se décompose trivialement en nombres premiers, soit un nombre composé. Dans ce cas, il existe des nombres a, b tels que

$$n+1=a\cdot b$$

et ces entiers naturels sont évidemment inférieurs à n + 1 et supérieurs à 1 :

$$\begin{array}{rcl}a>1,& & a<n+1\\ b>1,& & b<n+1\end{array}$$

Les nombres a, b font donc partie de la liste 2 ; … ; n. Or chaque nombre de cette liste a une décomposition en facteurs premiers (c’est notre hypothèse de récurrence), c’est-à-dire que l’on peut écrire

$$\begin{array}{rcl}a& =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\\ b& =& q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

où tous les p_i et q_j sont des nombres premiers, et où p₁ · p₂ · … · p_i et q₁ · q₂ · … · q_j sont donc leurs décompositions en facteurs premiers. Comme nous avons dit que n + 1 s’écrit n + 1 = a · b, on a en même temps

$$\begin{array}{rcl}n+1& =& a\cdot b\\ & =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\cdot q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Le nombre n + 1 s’écrit donc comme produit de nombres premiers p₁ · p₂ · … · p_i · q₁ · q₂ · … · q_j, et le nombre n + 1, que nous venons d’ajouter, a donc lui aussi une décomposition en facteurs premiers. On en déduit que tout entier naturel supérieur à 1 a au moins une décomposition en facteurs premiers.

Preuve de l’unicité

Montrons maintenant que, pour tout entier naturel supérieur à 1, il n’existe pas plusieurs décompositions en facteurs premiers. Nous allons démontrer cette propriété par un raisonnement par l’absurde. Supposons que le théorème soit faux, donc qu’il existe un entier naturel n supérieur à 1 qui a deux décompositions en facteurs premiers différentes :

$$\begin{array}{rcl}n& =& p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i\\ n& =& q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Supposons aussi que, parmi tous les nombres qui ont plusieurs décompositions, n soit le plus petit. C’est-à-dire qu’il n’existe aucun entier naturel plus petit qui ait plus d’une décomposition en facteurs premiers. Comme q₁ est un des nombres premiers qui divisent n, q₁ divise évidemment aussi le produit p₁ · p₂ · … · p_i.

Il nous faut ensuite utiliser le lemme d’Euclide. Il dit que, si un nombre premier p divise un produit de deux entiers a · b, alors p divise au moins l’un des nombres a ou b. Par exemple : le nombre premier 3 divise 84. On peut écrire 84 comme produit 12 · 7. Le lemme d’Euclide dit que 3 divise au moins l’un des nombres 12 ou 7 – ici, il divise 12.

Avec ce lemme, on peut dire que, puisque q₁ divise p₁ · p₂ · … · p_i, il doit aussi diviser au moins l’un des nombres p₁, p₂, …, p_i. On peut supposer – sans perte de généralité – que q₁ divise p₁. Mais p₁ est lui aussi un nombre premier. Quand un nombre premier peut-il en diviser un autre ? Par exemple, quel nombre premier est divisible par le nombre premier 7 ? Seulement 7 lui-même. Il ne peut pas diviser un autre nombre premier, sinon celui-ci ne serait pas premier. On a donc nécessairement p₁ = q₁.

Cela signifie que, dans les deux décompositions, il y a un nombre premier commun : le nombre premier p₁, c’est-à-dire q₁. Divisons la première égalité par p₁ et la seconde par q₁ :

$$\begin{array}{rcl}\frac{n}{p_1}& =& \frac{p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_i}{p_1}\\ \frac{n}{q_1}& =& \frac{q_1\cdot q_2\cdot \dots \cdot q_j}{q_1}\end{array}$$

Comme p₁ = q₁, on obtient le même nombre dans le membre de gauche ; appelons-le par exemple m. On a donc

$$m=\frac{n}{p_1}=\frac{n}{q_1}$$

Dans le membre de droite, il suffit de simplifier les fractions :

$$\begin{array}{rcl}m& =& p_2\cdot p_3\cdot \dots \cdot p_i\\ m& =& q_2\cdot q_3\cdot \dots \cdot q_j\end{array}$$

Le nombre m est forcément un entier naturel inférieur à n, puisque m a été obtenu en divisant n par l’un de ses facteurs premiers. Dans le membre de droite des deux égalités, on a la décomposition en facteurs premiers de m. Nous avons donc construit un autre nombre m, plus petit que n, qui a lui aussi deux décompositions en facteurs premiers différentes. C’est en contradiction avec notre hypothèse que n est le plus petit nombre qui a plus d’une décomposition en facteurs premiers.

La seule explication est donc qu’il n’existe pas de « plus petit nombre ayant plus d’une décomposition en facteurs premiers ». Et cela signifie qu’il n’existe aucun nombre ayant plusieurs décompositions : tout entier supérieur à un a donc exactement une seule décomposition en facteurs premiers.