Factorielle

La factorielle d’un nombre n est égale au produit de tous les entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux à n. On note la factorielle avec un point d’exclamation : n!. Pour zéro, on pose : 0! = 1. La factorielle sert surtout en dénombrement, où l’on s’en sert par exemple pour calculer les permutations. Ainsi, la factorielle de cinq vaut 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Définition de la factorielle

On peut définir la factorielle de plusieurs façons. La plus simple est sans doute celle-ci :

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }n=0\\ n\cdot (n-1)!& \text{sinon}\end{array}$$

On peut aussi la définir à l’aide d’un produit :

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

Ou encore à l’aide d’une intégrale :

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

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Calculer avec des factorielles

On calcule souvent avec des factorielles dans des fractions. On utilise alors le fait que n! = n · (n − 1)!. Cela découle de la définition ; montrons-le sur un exemple. On sait que la factorielle de quatre, 4!, est égale au produit de ces entiers : 4 · 3 · 2 · 1. Or on peut écrire que le produit 3 · 2 · 1 est égal à la factorielle de trois : 3 · 2 · 1 = 3!. On peut donc écrire la factorielle de quatre ainsi : 4! = 4 · 3!.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Grâce à cela, on peut simplifier efficacement beaucoup de factorielles dans des fractions. Exemple type – simplifie l’expression :

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

On simplifie grâce à la formule que je viens de mentionner. Au numérateur, on peut écrire la factorielle sous la forme n · (n − 1)!, puis (avec la même formule) décomposer encore en n · (n − 1) · (n − 2)!. On peut maintenant simplifier joliment la fraction :

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Autre exemple :

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

Et un dernier exemple sur la factorielle :

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$