Rapports

On utilise en général les rapports quand on veut préciser la proportion d’une substance A par rapport à une substance B. Par exemple, pour dire qu’il doit y avoir deux fois plus de substance A, ou moitié moins, etc. Bien sûr, il ne s’agit pas forcément d’un rapport entre deux substances seulement : il peut y en avoir davantage.

Des rapports relatifs

Les rapports sont toujours relatifs, ce n’est pas une grandeur absolue. Si la recette dit « ajoute un demi-kilo de sucre et un quart de kilo de viande », ce n’est pas la même chose que si elle dit « ajoute un peu de viande et deux fois plus de sucre ». Dans le premier cas, nous n’avons pas d’autre choix que d’acheter un demi-kilo de sucre ; dans le second, il suffit d’avoir deux fois plus de sucre que de viande. Dans les deux cas, on finira de toute façon par cuisiner une bouillie infâme.

On note en général les rapports avec deux-points. Par exemple 1:2 ou 5:4. Que signifie cette écriture ? La première signifie qu’il doit y avoir deux fois moins de la première substance que de la seconde. La seconde dit que la substance A doit être présente 5 fois, tandis que la même quantité de substance B ne l’est que 4 fois.

Supposons que nous voulions préparer un cocktail « jevaisvomir », où le rapport de la vodka au rhum est de 5:2 : cela signifie que nous versons dans le verre 5 dl de vodka et 2 dl de rhum. Comme il s’agit d’un rapport, nous respectons aussi la consigne si nous versons 2,5 dl de vodka et 1 dl de rhum. Il suffit simplement qu’il y ait 2,5 fois plus de vodka que de rhum. Nous sommes arrivés au nombre 2,5 en divisant 5 / 2. Si le rapport de deux substances A et B est 5:1, cela signifie qu’il doit y avoir cinq fois plus de A (5 / 1). Pour le rapport 7:3, il y en aurait environ 2,3 fois plus (7 / 3). Pour le rapport 1:1, les quantités seraient égales, et enfin, pour le rapport 2:3, il y aurait 1,5 fois plus de B (3 / 2), ou bien A ne représenterait qu’environ 0,67 fois la quantité de B (2 / 3).

Exemples

Dans notre porte-monnaie, nous avons quarante euros, en petite monnaie. Dans le jardin, nous avons aussi deux ouvriers qui ont creusé toute la nuit une tombe pour la voisine, celle qui n’arrête pas de regarder dans ton salon par la fenêtre. Comme Hugo a travaillé plus vite que Louis, il reçoit plus d’argent, dans le rapport 7:3. Combien d’argent recevront-ils pour leur travail macabre, si l’on suppose que nous ne sommes pas radins et que nous leur donnons les quarante euros en entier ?

C’est facile à calculer. Le rapport est 7:3. Hugo reçoit donc sept parts, et Louis seulement trois. On additionne les parts 7 + 3 = 10 et on divise par ce nombre la somme que l’on veut leur donner : 40 / 10 = 4. Nous avons ainsi calculé combien d’euros correspondent à une part. Hugo doit recevoir sept parts : 4 · 7 = 28 et Louis trois parts : 3 · 4 = 12. Et voilà, c’est réglé : Hugo reçoit 28 euros et Louis 12.

C’est la façon la plus simple de résoudre les exercices sur les rapports. Un rapport exprime en fait simplement les parts d’un certain tout. Si le rapport est 1:2, cela signifie que la substance A représente 1/3 du tout et la substance B 2/3. Ce ne sont que des fractions écrites autrement. On trouve le dénominateur en additionnant toutes les parts du rapport, et on met simplement les parts données au numérateur. Si l’on additionne toutes les parts, on doit obtenir le tout, c’est-à-dire un. 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1. On peut aussi l’exprimer en pourcentages : 33,3 % et 66,7 % (environ). Un autre exemple simple :

Léa et Lucas sont amis depuis l’enfance, mais malheureusement chacun a fait ses études dans une autre université, ce qui les a séparés pour longtemps. Léa a étudié l’histoire et Lucas les mathématiques et la physique. Des années plus tard, ils se sont retrouvés dans leur petit bistrot préféré, « Le Canard trempé », et ils se sont mis à bavarder. Léa a dit à Lucas que, depuis qu’ils ne s’étaient pas vus, elle avait eu seize partenaires (Léa était une très belle fille, et aussi un peu volage). Mais Lucas était malin et n’a pas dit à Léa le nombre exact de ses copines ; il lui a seulement dit que le rapport entre ses partenaires à elle et ses partenaires à lui était de 8:3. Un vrai matheux, quoi… Mais Léa n’avait pas seulement des mensurations parfaites de 89-61-88, elle était aussi intelligente, et elle s’est donc mise à calculer : bon, mes seize partenaires correspondent au huit du rapport que Lucas m’a donné. Donc, si je veux savoir combien de types correspondent à une part du rapport, je dois diviser 16 / 8 = 2. Une part correspond donc à deux partenaires. Lucas a trois parts, donc le nombre de ses copines est deux fois trois, c’est-à-dire six. Lucas a approuvé et a commandé un autre verre. Après cette soirée, le score de chacun a augmenté d’exactement un point, mais ça, c’est une autre histoire.

Chloé travaillait comme barmaid dans un établissement appelé « Sk8 is Gr8 ». Un soir, un type un peu éméché est venu au bar et a voulu un cocktail spécial. Il a donné ses instructions à la barmaid : « Ma belle, je le veux dans un verre d’un demi-litre. Je veux du jus de banane, du cola et du café. Le tout dans le rapport 5:2:3. » Chloé a été étonnée, mais le client est roi. Elle s’est mise à la préparation. D’abord, elle a additionné toutes les parts : 5 + 2 + 3 = 10. Dans un verre d’un demi-litre, il y a 500 ml de liquide. Elle devait donc trouver combien de millilitres correspondent à une part du rapport. Elle l’a trouvé facilement : 500 / 10 = 50. Une part correspond à 50 millilitres. Elle a donc versé dans le verre 5 · 50 = 250 ml de jus de banane, 2 · 50 = 100 ml de cola et 3 · 50 = 150 ml de café. Quand le type est réapparu, il a demandé la clé des toilettes.

Échelle d’une carte

Une application classique des rapports est aussi l’échelle d’une carte.