Qu’est-ce qu’une démonstration

Les démonstrations sont les pierres angulaires de toutes les mathématiques : grâce à elles, tu peux construire une pyramide entière à partir de quelques petits cailloux, et même une pyramide à l’envers.

À quoi servent les démonstrations

Les démonstrations ont un sens en mathématiques pour plusieurs raisons. La raison principale est que, sans démonstration, nous ne pouvons confirmer aucune idée ni hypothèse qui nous vient à l’esprit. Nous pourrions par exemple croire qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers, mais sans démonstration, ce n’est qu’une affirmation creuse. D’un autre côté, même les énoncés non démontrés ont un sens en mathématiques (et ailleurs). On dit simplement que, si l’on suppose qu’il n’y a qu’un nombre fini de nombres premiers, alors… telle autre théorie est vraie.

Il ne faut alors pas s’étonner que quelqu’un démontre un jour qu’il y a une infinité de nombres premiers, comme nous le verrons plus loin, et que toute notre théorie s’effondre comme un château de cartes. Grâce aux démonstrations, nous pouvons donc construire des châteaux de cartes qui ne s’effondreront jamais.

Si l’on apprend les démonstrations à l’école, c’est que celui qui comprend une démonstration comprend aussi la notion étudiée. En général, il est difficile de bien comprendre un chapitre sans comprendre ses démonstrations. J’ai mis le mot « comprendre » en valeur tout à fait exprès : si tu apprends les démonstrations par cœur la veille de l’interrogation, et que le lendemain tu les recraches sur ta feuille, cela ne veut pas dire que tu es plus près de comprendre le sujet.

Quand on apprend un chapitre, les démonstrations répondent donc à la question « pourquoi est-ce que ça marche ? ». Si tu comprends pourquoi une chose fonctionne, tu la retiens plus facilement et, avec le temps, tu comprendras certainement ce chapitre bien mieux que quelqu’un qui a appris en mode « j’avale – je recrache ». La question est de savoir si c’est ton but.

Qu’est-ce qu’une démonstration

En logique mathématique, on définit formellement ce qu’est une démonstration, par exemple à l’aide de la conséquence syntaxique, mais nous nous contenterons d’une définition beaucoup plus simple.

Au début de toute démonstration, nous devons avoir une affirmation que nous voulons démontrer. Nous la notons par le symbole magique ϕ. C’est une lettre grecque que l’on lit « phi ». Il nous faut ensuite un ensemble d’axiomes et d’hypothèses, que nous noterons Ax, à l’aide desquels nous démontrerons l’affirmation ϕ. L’ensemble des axiomes, c’est ce que nous savons déjà, ce que nous supposons vrai. Cela peut être des choses comme « tout nombre pair est divisible par deux ». Cet ensemble peut aussi contenir, par exemple, des formules de transformation d’expressions qui ont été démontrées ailleurs et que nous supposons déjà vraies, par exemple :

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2;a,b\in \mathbb{R}$$

Nous allons maintenant transformer pas à pas les affirmations de l’ensemble Ax jusqu’à obtenir l’affirmation ϕ. Toutes les transformations doivent être logiquement correctes, elles doivent respecter la logique propositionnelle de base. Par exemple, si nous voulions démontrer la formule précédente, nous partirions de l’expression

$$(a+b{)}^2$$

et nous la transformerions par des transformations équivalentes jusqu’à obtenir l’expression du membre de droite. Je te le montre :

$$(a+b{)}^2=(a+b)\times (a+b)=a\times a+a\times b+b\times a+b\times b=$$

$$=a\times a+2ab+b\times b=a^2+2ab+b^2$$

Dans la première étape, nous avons écrit la puissance sous forme de produit, dans la deuxième, nous avons développé les parenthèses, dans la troisième, nous avons additionné les termes identiques et, dans la dernière, nous avons écrit le produit sous forme de puissance. Chaque étape était une transformation élémentaire que nous pouvions nous permettre, et nous supposons que chacune de ces transformations élémentaires est contenue dans l’ensemble Ax.

Ce qui est important, c’est que chaque transformation doit être valable, elle doit partir de quelque chose que nous connaissons déjà. Une démonstration mathématique, c’est un peu comme l’évolution : par de petites transformations successives, on passe d’une expression à une autre.

Démonstrations triviales

Une démonstration triviale (ou évidente) est un terme technique désignant une démonstration qui ne tient pas au tableau, donc on la saute et l’élève l’apprend dans le polycopié, en devoir à la maison. :-) Plus sérieusement : les démonstrations triviales sont des démonstrations qui découlent typiquement d’une définition en une seule étape triviale.

Essayons de le montrer sur un exemple : prenons l’ensemble des entiers naturels non nuls, c’est-à-dire l’ensemble ℕ^* = {1 ; 2 ; 3 ; …}. Nous pouvons maintenant dire que toute fraction de la forme :

$$\frac{q}{p};q,p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

est une fraction valable, c’est-à-dire que nous ne trouverons aucun couple de nombres q, p pour lequel la fraction donnée n’aurait pas de sens. Comment le démontrer ? Il faut d’abord trouver quand une fraction n’a pas de sens. Une fraction n’a pas de sens quand il y a zéro au dénominateur (on ne peut pas diviser par zéro). Nous devons donc démontrer que p ≠ 0 pour tous les p possibles. Or nous savons que p est pris parmi les entiers naturels non nuls, que nous avons définis par ℕ^* = {1 ; 2 ; 3 ; …}. Cet ensemble ne contient pas zéro, donc le nombre p sera toujours différent de zéro.

$$\mathrm{\forall }p\in {\mathbb{N}}^{\ast }:p\ne 0$$

La démonstration est terminée. Nous savons que, si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont des entiers naturels non nuls, la fraction est valable.

Les démonstrations triviales sont en général vraiment triviales, mais seulement si tu connais le contexte. Par exemple, si tu ne comprends pas la notion d’ensemble ou si tu ne sais pas ce que signifie que p est un élément de l’ensemble ℕ^*, alors cette démonstration n’était pas triviale pour toi non plus. Les démonstrations triviales ne se caractérisent donc pas tant par leur simplicité que par leur brièveté : elles découlent simplement d’un contexte (aussi difficile soit-il).

Contre-exemple

Le contre-exemple est sans doute la forme de démonstration la plus simple pour montrer qu’une expression n’est pas vraie. Le mot important, c’est « n’est pas ». Un contre-exemple peut en effet mettre en évidence un cas où l’énoncé donné ne s’applique pas, mais, en général, même un très grand nombre d’exemples ne suffit pas dès qu’il y a une infinité d’éléments à tester.

Exemple : « tout entier naturel est supérieur à dix ». Comment démontrer que c’est faux ? Un contre-exemple à notre affirmation est le nombre cinq, par exemple. Le nombre cinq est un entier naturel et il n’est pas supérieur à dix. On ne peut pas démontrer l’affirmation en énumérant quelques entiers naturels supérieurs à dix. Tu ne peux pas dire « les entiers naturels 11, 12, 13, 123 et 5 345 sont supérieurs à 10, donc l’énoncé est vrai ». Ça ne marche pas. Nous avons seulement choisi quelques exemples pour lesquels notre affirmation est vraie, mais cela ne dit rien des autres nombres, dont nous n’avons pas parlé du tout.

Deuxième exemple : tout homme de plus de deux mètres a les yeux marron ou bleus. Je suppose que peu de gens sont capables de trouver un contre-exemple. Qu’est-ce que cela nous dit de cet énoncé ? Eh bien, rien du tout. Si nous ne sommes pas capables de trouver un contre-exemple, cela ne signifie pas forcément que l’énoncé est vrai. Un contre-exemple existe peut-être quelque part, simplement nous ne sommes pas capables de le trouver pour le moment. L’incapacité à trouver un contre-exemple ne démontre pas que l’affirmation est vraie.

Démonstration directe

Le type de démonstration de base est la démonstration directe. On suit tout bonnement la définition et on transforme l’énoncé de départ jusqu’à obtenir l’énoncé que l’on veut obtenir. On veut typiquement démontrer un énoncé de la forme d’une implication A ⇒ B, où A est un point de départ, une hypothèse, et B est l’énoncé que l’on veut déduire, démontrer. Si l’énoncé A est vrai, alors l’énoncé B est vrai. Souvent, on nous donne seulement l’énoncé B, c’est-à-dire ce qu’il faut démontrer, et c’est à nous de choisir convenablement l’énoncé A.

Vient ensuite une démarche où, à l’aide d’implications, on déduit d’autres énoncés, et le dernier énoncé est B. Schématiquement, on pourrait l’écrire ainsi :

$$A\Rightarrow A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow A_3\Rightarrow \dots \Rightarrow A_n\Rightarrow B$$

À titre d’exemple, démontrons l’énoncé suivant :

$$a>1\Rightarrow a^2>1$$

Voyons cela étape par étape :

1. Comme a>1, on a certainement aussi a>0 et a ≠ 0 (on affaiblit simplement la condition).
2. Comme a n’est pas nul et qu’il est positif, nous pouvons sans crainte multiplier toute l’inégalité par a. Si a était nul, l’inégalité stricte ne serait pas conservée (on obtiendrait 0>0), et s’il était négatif, il faudrait inverser le sens de l’inégalité. Après multiplication par a, on obtient l’expression a²>a.
3. À ce stade, nous savons que a>1 et nous savons en même temps que a²>a. Si nous mettons ces deux expressions ensemble, nous obtenons : a²>a>1.
4. À partir de là, il suffit d’enlever l’expression du milieu et nous avons a²>1. Nous pouvions nous le permettre parce que a est supérieur à un et que a² est supérieur à a. Si a² est supérieur à a et que a est en même temps supérieur à un, alors a² est certainement supérieur à un.

Symboliquement, nous pourrions l’écrire ainsi :

$$a>1\Rightarrow a>0\Rightarrow a^2>a\Rightarrow a^2>a>1\Rightarrow a^2>1.$$

Démonstration indirecte

La démonstration indirecte exploite davantage les propriétés de l’implication. Si nous devons démontrer une affirmation de la forme A ⇒ B, nous pouvons utiliser la contraposée et démontrer

$$\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A.$$

Cette démarche peut parfois être plus avantageuse que, par exemple, la démonstration directe. Le raisonnement par l’absurde utilise une démarche semblable, et toute démonstration indirecte peut s’y ramener. Essayons de démontrer indirectement l’affirmation

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Écrivons maintenant la contraposée :

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\neg }(a=b)& \Rightarrow & \mathrm{\neg }(a-b=0)\\ a\ne b& \Rightarrow & a-b\ne 0\end{array}$$

Si a ≠ b, nous pouvons décomposer b en une somme b = a + x, où x représente la distance du nombre b au nombre a. L’expression change ainsi :

$$a\ne (a+x)\Rightarrow a-(a+x)\ne 0;x\ne 0$$

Simplifions les a là où c’est possible :

$$0\ne x\Rightarrow -x\ne 0;x\ne 0$$

Comme x ≠ 0, on a aussi −x ≠ 0, donc l’implication est vraie. L’affirmation est démontrée, et l’énoncé initial est donc vrai aussi :

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

D’autres techniques de démonstration sont par exemple le raisonnement par l’absurde déjà mentionné ou la démonstration par récurrence.

Autres sources

• Démonstration mathématique sur Wikipédia