Nombres rationnels

Les nombres rationnels sont tous les nombres que l’on peut écrire comme quotient de deux entiers relatifs, c’est-à-dire sous la forme d’une fraction.

Définition

Les nombres rationnels sont donc tous les nombres que l’on peut écrire sous la forme

$$\frac{a}{b}a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0.$$

La condition que les deux nombres soient des entiers relatifs a un sens évident : si l’on choisissait un nombre qui n’est pas rationnel, par exemple π, et que l’on formait la fraction

$$\frac{\pi }{1},$$

on retrouverait le nombre π, qui n’est pas rationnel. Le numérateur et le dénominateur doivent donc être des entiers. Et comme on ne peut pas diviser par zéro, le dénominateur doit être différent de zéro.

On peut aussi dire que les nombres rationnels sont les nombres dont le développement décimal est fini et ceux dont le développement décimal est infini avec une partie qui se répète périodiquement. Voici des exemples de nombres rationnels, d’abord sous forme de fractions :

$$\frac{1}{3},-\frac{5}{9},\frac{13}{29},\frac{4}{1},\dots$$

puis sous forme d’écriture décimale : 0,1 ; −5 ; 14,5 ; −12,93 ; 0,33333…=$0,\bar{3}$

Écriture périodique

Dans l’exemple précédent, nous avions le nombre 0,3333… C’est l’écriture décimale de la fraction 1/3, un nombre dont le développement décimal est infini. Il est pourtant rationnel, car son développement est périodique. Un développement périodique signifie qu’à partir d’un certain rang, la même suite de chiffres se répète indéfiniment. Dans notre cas, le 3 se répétait à l’infini. Mais ce peut être par exemple la suite de chiffres 12345 qui se répète indéfiniment : le nombre a toujours une période et il est rationnel.

Ainsi, tout nombre dont le développement décimal est fini est rationnel. Tout nombre dont le développement décimal est infini avec une partie qui se répète périodiquement est aussi rationnel. Un nombre dont le développement décimal est infini et dont aucune partie ne se répète périodiquement est un nombre irrationnel.

La période se note soit avec trois points, soit, plus souvent, avec un trait au-dessus des chiffres qui se répètent. Un seul chiffre peut se répéter, mais aussi plusieurs. La période peut commencer tout de suite après la virgule ou plus tard. Tous ces nombres sont périodiques :

$$\begin{array}{rclcl}7/3& =& \mathrm{2,333}33\dots & =& 2,\bar{3}\\ 16/11& =& \mathrm{1,454}545\dots & =& 1,\overline{45}\\ 11/6& =& \mathrm{1,833}333\dots & =& 1,8\bar{3}\end{array}$$

Notation et signification

On note les nombres rationnels avec la lettre Q aux arcs doublés : ℚ. C’est l’initiale de « quotient », le résultat d’une division.

Les nombres rationnels servent à exprimer une partie d’un tout. Par exemple « la moitié » ou « le dixième ». Ce sont des parties d’un tout que l’on peut exprimer par les nombres rationnels 1/2 et 1/10. Dans ces cas, le dénominateur désigne le tout et le numérateur la partie du tout. Si le numérateur est égal au dénominateur, cela signifie que l’on a le tout. On convertit ensuite souvent ces quantités en pourcentages.

Propriétés

1. L’ensemble des nombres rationnels est un ensemble infini dénombrable.

• Les nombres rationnels sont stables par addition, soustraction, multiplication et division (par un nombre non nul). Cela signifie que si l’on divise deux nombres rationnels, on obtient encore un nombre rationnel. C’est un changement par rapport aux entiers relatifs, qui n’étaient pas stables par division.
• Les nombres rationnels contiennent tous les entiers relatifs. Si tous les nombres rationnels s’écrivent sous la forme d’une fraction a/b, il suffit de prendre b = 1 : après la division a/1 = a, on retrouve toujours la valeur du numérateur.
• Si l’on prend deux nombres rationnels a et b tels que a < b, on peut toujours trouver un autre nombre rationnel q tel que a < q < b. Autrement dit, entre deux nombres rationnels quelconques, on peut toujours trouver un autre nombre rationnel. Une version plus forte est vraie aussi : entre deux nombres rationnels quelconques, il existe une infinité d’autres nombres rationnels.
• Une conséquence de la propriété précédente est qu’il n’existe pas de plus petit nombre rationnel strictement positif (ni de plus grand nombre rationnel strictement négatif). Pour le montrer, on peut utiliser un raisonnement par l’absurde. Supposons que m soit le plus petit nombre rationnel strictement positif. On ne devrait alors pas pouvoir trouver de nombre rationnel strictement positif plus petit. Pourtant, d’après la propriété précédente, 0 < m et il existe donc un nombre rationnel s tel que 0 < s < m. Nous avons trouvé un nombre s qui est supérieur à zéro (strictement positif) et inférieur à m. C’est une contradiction avec le fait que m est le plus petit nombre rationnel strictement positif.

Opérations avec les nombres rationnels

Toutes les opérations courantes de base sont décrites dans l’article sur les fractions.

Conversion d’un nombre périodique en fraction

Comme un nombre périodique est aussi un nombre rationnel, on doit pouvoir le convertir en fraction. Voyons comment faire. Au départ, prenons le nombre périodique a = 0,333… On écrit

$$a=0,\bar{3}$$

Nous allons maintenant faire des transformations équivalentes d’équations classiques et multiplier toute l’égalité par dix :

$$10a=3,\bar{3}$$

Dans le membre de droite, un 3 est passé au rang des unités ; après la virgule, il reste toujours une infinité de 3. Soustrayons maintenant a de l’égalité, c’est-à-dire 0,333…, ce qui nous débarrasse du développement infini.

$$9a=3$$

Cette étape était peut-être un peu délicate, alors je la détaille. Nous avons effectué cette opération :

$$\begin{array}{ccccccc}& 3& ,& 3& 3& 3& \dots \\ -& 0& ,& 3& 3& 3& \dots \\ =& 3& ,& 0& 0& 0& \dots \end{array}$$

Il suffit de diviser l’égalité 9a = 3 par neuf pour obtenir le résultat :

$$a=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

Essayons encore un exemple :

$$a=\mathrm{1,454}545\dots =1,\overline{45}$$

La méthode sera légèrement différente. Dans l’exemple précédent, la période avait une longueur de un. Plus exactement, la période pouvait être aussi longue que l’on voulait, puisque les mêmes chiffres se répétaient sans cesse, mais cela nous arrangeait de la prendre de longueur un. Maintenant, la période a une longueur de deux. Là encore, nous pourrions prendre une période de longueur six, mais cela ne nous arrange pas. Pour soustraire vraiment toute la période, il faut cette fois multiplier par cent :

$$100a=145,\overline{45}$$

Soustrayons un a :

$$99a=144$$

Et divisons par 99 :

$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$

Si tu divises ces nombres à la calculatrice, tu obtiens bien 1,454545… La plupart des calculatrices arrondissent toutefois, et elles peuvent donc afficher un résultat un peu différent.

Une curiosité avec 0,9999…

Pour le plaisir, essayons encore de convertir en fraction le nombre périodique

$$a=0,\bar{9}$$

Multiplions par dix :

$$10a=9,\bar{9}$$

Soustrayons a :

$$9a=9$$

Divisons par neuf :

$$a=1$$

Nous voyons que nous avons obtenu 1, donc le nombre 0,999… est égal au nombre 1.

Liens

• Wikipédia