Suites

Une suite est une fonction dont l’ensemble de définition est l’ensemble des entiers naturels. Une suite peut être infinie, si son ensemble de définition est l’ensemble des entiers naturels tout entier, ou finie, si son ensemble de définition n’est qu’une partie finie des entiers naturels. Tant qu’on ne précise pas qu’il s’agit d’une suite finie, on suppose qu’elle est infinie.

Définition d’une suite

Ce chapitre décrit un peu le sens de la définition d’une suite. Il n’est pas indispensable de le connaître, tu peux le sauter si tu veux.

L’introduction l’a déjà révélé : une suite est une fonction dont l’ensemble de définition est formé des entiers naturels. L’ensemble d’arrivée peut être n’importe quel ensemble, mais nous supposerons ici qu’il s’agit de l’ensemble des nombres réels. Qu’est-ce que cela signifie ? Le changement le plus visible concerne le graphe : ce n’est pas une courbe continue, comme pour les fonctions usuelles, mais seulement des points isolés, éparpillés.

Une suite peut être, par exemple, la liste de nombres 1, 3, 5, 7, 9, 11, … C’est une suite plutôt clairement définie, et chacun devrait voir comment elle continue. Comme il s’agit d’une fonction, le tableau de correspondance de cette suite ressemblerait à ceci (la numérotation commence ici à 1 ; dans les cours français, on commence souvent à 0) :

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

Les nombres de la première colonne (les valeurs de l’ensemble de définition) indiquent donc le rang du nombre dans la suite. Par exemple, dans notre suite simple, le nombre cinq est en troisième position, et c’est exactement ce que dit le tableau. En quatrième position se trouve le nombre sept, en première position le un, et ainsi de suite. Il en résulte aussi que l’ensemble de définition d’une suite finie p doit être un ensemble de la forme

$${\mathcal{D}}_p=\{1;2;3;\dots ;n\},$$

pour que ce soit vraiment un rang et qu’aucune position ne soit sautée. Par exemple, l’ensemble

$${\mathcal{D}}_p=\{1;2;3;5;7\}$$

ne convient pas comme ensemble de définition d’une suite, car il lui manque les rangs 4 et 6.

Une suite exprime donc le fait que ses éléments peuvent être ordonnés : chaque terme de la suite, sauf le premier et le dernier, a un prédécesseur et un successeur. C’est une énorme différence avec les fonctions réelles, où rien de tel n’existe. Si l’on prend la fonction f(x) = 2x, quelle valeur suit f(5/2) ? On ne le sait pas : le résultat est un nombre réel, et les nombres réels n’ont pas de successeur.

Notation d’une suite

Nous savons déjà que, pour dire les choses simplement, une suite est une liste numérotée de nombres. Voyons maintenant comment la noter. On désigne en général la suite elle-même par une lettre minuscule munie d’un indice, par exemple u_i. En France, on écrit plutôt (u_n) pour la suite entière et u_n pour son terme de rang n.

La première façon consiste à énumérer toutes les valeurs de la suite. Nous l’avons déjà rencontrée dans le chapitre précédent. L’énumération peut être finie ou infinie :

$$\begin{array}{rcl}{u}_k& =& (1;2;3;4;5)\\ u_n& =& (2;4;6;8;10;\dots )\end{array}$$

Remarque : je ne suis pas sûr des parenthèses qu’on utilise habituellement pour les suites, je n’ai pas trouvé de convention unifiée. J’éviterais sans doute les accolades, car elles désignent des ensembles, dans lesquels l’ordre n’a pas d’importance, alors que pour une suite l’ordre des termes compte.

La deuxième possibilité est une formule pour le n-ième terme de la suite. Par exemple, la suite u_n contenait tous les nombres pairs. On pourrait l’exprimer par la formule

$$u_n=2n.$$

L’indice n nous indique quel terme de la suite on est en train de calculer. Donc, si l’on veut connaître le premier terme, on cherche le terme u₁, et pour le septième, u₇. On calcule alors le septième terme en remplaçant dans la formule.

$$u_7=2\cdot 7=14$$

Cette écriture est pratique, car elle permet de calculer immédiatement n’importe quel terme de la suite. Une autre possibilité est la définition par récurrence. La définition par récurrence permet de calculer le terme suivant quand on connaît le terme actuel. Autrement dit, si l’on connaît le terme u_n, elle permet de calculer le terme u_{n + 1}.

Pour donner une suite par récurrence, il faut fournir deux informations : quel est le premier terme et la formule qui permet de calculer le terme de rang n + 1. Si l’on voulait définir par récurrence la suite des entiers naturels pairs, on pourrait le faire ainsi :

$$u_1=2;u_{n+1}=u_n+2$$

Comment calculer maintenant ? Nous savons que u₁ vaut deux. Remplaçons n par un : on obtient u₂ en ajoutant deux à u₁. Cela donne quatre, le deuxième nombre pair. Et ainsi de suite.

$$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& 2\\ u_2& =& u_1+2(=4)\\ u_3& =& u_2+2(=6)\\ u_4& =& u_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

La définition par récurrence convient quand on a besoin de générer une assez grande partie de la suite. En revanche, elle ne convient pas quand on veut calculer un terme précis : pour calculer le centième nombre pair, il faudrait d’abord calculer les 99 nombres pairs qui le précèdent.

Enfin, on peut aussi donner une suite par son graphe.

Pour être bien clair : une suite n’a pas forcément une formule simple, ce n’est pas forcément une liste de nombres « raisonnable ». Cette liste de nombres est aussi une suite, même si elle n’a, à première vue, aucun sens profond :

$$u_i=(-5;\frac{7}{3};\pi ;\pi ;\pi ;13;{10}^6+54;{\log }_{3}54;0)$$

Graphe d’une suite

Les suites ont des graphes différents de ceux des fonctions réelles usuelles. Comme leur ensemble de définition est formé d’entiers naturels, leur graphe est constitué de points isolés.

Suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite simple, dans laquelle l’écart entre deux termes consécutifs est constant. Chaque terme est par exemple plus grand de trois que le précédent, ou plus petit de dix-sept. L’écart dont les termes de la suite diffèrent s’appelle la raison (on la note r). Dans le premier cas, la raison serait trois, dans le deuxième moins dix-sept, et pour la suite des nombres pairs, elle serait deux. Une suite arithmétique s’écrit donc par la formule

$$u_{n+1}=u_n+r$$

La formule générale pour calculer le n-ième terme d’une suite arithmétique est alors

$$u_n=u_1+(n-1)r.$$

(Si la suite commence à u₀, comme souvent en France, on écrit u_n = u₀ + nr.) Prenons donc comme exemple, de nouveau, les nombres pairs, où la raison est deux et où le premier nombre pair est aussi deux. On a alors : le deuxième nombre pair s’obtient en ajoutant deux au premier. Si l’on ajoute encore deux, on obtient le troisième nombre pair.

$$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& 2\\ u_2& =& u_1+2(=4)\\ u_3& =& u_2+2(=6)\\ u_4& =& u_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Si l’on voulait calculer, par exemple, le septième nombre pair, on remplacerait dans la formule générale ainsi :

$$u_n=u_1+(n-1)r\to u_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

Comment savoir si une suite donnée est arithmétique ? On soustrait la formule du n-ième terme à celle du terme de rang n + 1, et si l’on obtient la raison, la suite est arithmétique. Prenons par exemple la suite

$$u_n=2n+7.$$

Cette suite est-elle arithmétique ? Commençons par exprimer le terme de rang n + 1 :

$$u_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Soustrayons maintenant ces deux expressions :

$$\begin{array}{rcl}r& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ r& =& 2n+2+7-2n-7\\ r& =& 2n-2n+7-7+2\\ r& =& 2\end{array}$$

Nous voyons qu’après la soustraction nous avons obtenu r = 2, donc il s’agit d’une suite arithmétique de raison deux.

Somme des termes d’une suite arithmétique

Il nous arrive souvent de devoir trouver la somme des premiers termes d’une suite arithmétique. Comment faire ? Intuitivement, à peu près ainsi. Restons avec les nombres pairs. Quelle est la somme des trois premiers nombres pairs, c’est-à-dire des nombres 2, 4 et 6 ? On peut bien sûr les additionner un par un, mais ce n’est pas ce que nous voulons : nous voulons une formule.

Modifions la suite ainsi : on ajoute deux au premier terme et on retranche deux au dernier. On obtient 4, 4, 4. Nous voyons que nous avons trois nombres identiques, il suffit donc de multiplier quatre par le nombre de termes, c’est-à-dire trois. Donc 4 · 3 = 12.

Avec cinq termes, cela donnerait : 2, 4, 6, 8, 10. On ajoute et on retranche quatre aux termes extrêmes, et deux aux termes voisins.

$$\begin{array}{rcl}{u}_i& =& (2+4);(4+2);6;(8-2);(10-4)\\ u_i& =& 6;6;6;6;6\end{array}$$

Là encore, il suffit de multiplier 6 · 5 = 30. Que voyons-nous ? On multiplie toujours le nombre de termes de la suite par le terme central de la suite. Dans la suite 2, 4, 6, le terme du milieu était quatre, et dans la suite 2, 4, 6, 8, 10, c’était 6. Comment calculer en général le terme du milieu (notons-le p) ? On le calcule comme la moyenne du premier et du dernier terme de la suite, donc

$$p=\frac{u_1+u_n}{2}$$

Par exemple, pour la deuxième suite,

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

La formule finale pour la somme des n premiers termes de la suite u_n s’écrit donc ainsi :

$$S_n=n\cdot \frac{u_1+u_n}{2}$$

La formule est aussi valable pour un nombre pair de termes, bien que nous n’ayons utilisé dans la démonstration qu’un nombre impair de termes.

Comment calculer la raison

Comment calculer la raison quand on connaît deux termes de la suite ? Restons avec les nombres pairs. Supposons que nous connaissions ces deux termes de la suite

$$u_3=6,u_7=14.$$

Comment calculer la raison ? Calculons d’abord la différence entre ces deux termes :

$$u_7-u_3=14-6=8$$

Il suffit maintenant de diviser ce résultat par le nombre de pas entre les deux termes que nous connaissons, c’est-à-dire par la différence de leurs indices :

$$\frac{u_7-u_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

La raison est deux. La formule finale pour calculer la raison r, quand on connaît les termes u_k et u_l de la suite :

$$r=\frac{u_l-u_k}{l-k}$$

Le graphe d’une suite arithmétique montre une croissance constante ou une décroissance constante : les points isolés du graphe se trouvent sur une même droite.

Suite géométrique

Une suite géométrique diffère de la précédente, la suite arithmétique, par le fait que deux termes consécutifs n’ont pas le même écart, mais le même quotient. Ce quotient s’appelle lui aussi la raison, mais on la note q. Par exemple, on pourrait avoir une suite où q = 10 et dont le premier terme serait 5 :

$$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& 5\\ u_2& =& u_1\cdot 10(=50)\\ u_3& =& u_2\cdot 10(=500)\\ u_4& =& u_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

En général, on a donc la formule :

$$u_{n+1}=u_n\cdot q$$

La formule du terme général d’une suite géométrique s’écrit ainsi :

$$u_n=u_1\cdot q^{n-1}$$

Par exemple, le troisième terme de la suite précédente se calcule ainsi :

$$\begin{array}{rcl}{u}_3& =& u_1\cdot q^{3-1}\\ u_3& =& 5\cdot q^2\\ u_3& =& 5\cdot {10}^2\\ u_3& =& 500\end{array}$$

On peut encore répartir les suites géométriques en deux groupes, selon leur raison. En effet, si la valeur absolue de la raison est inférieure à un, toute la suite se rapproche de zéro. Une telle suite s’appelle donc convergente. En revanche, si la valeur absolue de la raison est au moins égale à un, la suite ne se rapproche pas de zéro et on dit qu’elle est divergente. Pour une suite convergente, on a alors une formule simple pour la somme de tous ses termes (valable seulement pour une suite convergente, car une suite divergente n’a pas de somme finie) :

$$S_u=\frac{u_1}{1-q}.$$

Formule pour calculer la somme des i premiers termes d’une suite géométrique u_n :

$$S_i=u_1\cdot \frac{q^i-1}{q-1}$$

Tu peux lire la démonstration de la formule sur Wikipédia.

Le graphe d’une suite géométrique, sauf lorsque la raison vaut un ou zéro, est un ensemble de points isolés qui ne se trouvent pas sur une même droite. Voici un graphe typique de suite géométrique :

Si la raison est négative, le graphe a deux branches :