Exprimer une variable

Comment exprimer une variable précise à partir d’une relation ou d’une fraction plus compliquée. Cette technique sert surtout quand on travaille avec des formules où figurent plusieurs variables. Combinée à d’autres formules, elle permet d’accomplir des prouesses, jusqu’à tout déduire de rien.

Expressions du premier degré simples

Prenons cette formule : ax + b = c. Comment isoler x dans cette formule imaginaire ? On commence toujours par mettre à gauche tous les termes contenant la variable que l’on isole, et le reste à droite. En théorie, peu importe ce qui est de quel côté, mais l’usage est d’avoir à gauche l’inconnue que l’on exprime. Déplaçons donc d’abord b à droite, c’est-à-dire ajoutons −b aux deux membres de l’équation :

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

Les termes contenant la variable sont d’un seul côté, mais le a nous gêne encore. Comment s’en débarrasser élégamment ? Que faut-il faire à l’expression ax pour obtenir seulement x ? Oui : on divise l’expression – et donc toute l’équation – par a, c’est-à-dire qu’on la multiplie par $\frac{1}{a}$. La valeur de a doit alors être différente de zéro (on ne peut pas diviser par zéro). Ce faisant, on obtient :

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

C’est fini. Un autre exemple :

$$2ax-3bx=10a$$

Là encore, il faut isoler x. Les termes contenant l’inconnue sont déjà à gauche, ce qui nous épargne un peu de travail. Mais la difficulté, c’est qu’il y a deux termes avec l’inconnue. On règle la situation par factorisation. Dans le membre de gauche de l’équation, on met x en facteur et l’on obtient :

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

Dans l’exemple précédent, nous avions l’expression ax et nous voulions obtenir seulement x : nous avons multiplié toute l’équation par $\frac{1}{a}$. Maintenant, nous avons dans l’équation l’expression x(2a − 3b) et nous voulons de nouveau connaître x. On fait la même chose : on divise toute l’équation par l’expression (2a − 3b). N’aie pas peur, on peut vraiment diviser l’équation par toute une parenthèse, il faut seulement que 2a − 3b ≠ 0.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Fractions

Si l’on a une expression avec des fractions, on utilise les mêmes transformations d’équations, en faisant seulement attention à ne pas diviser ni multiplier par zéro par mégarde. Exemple :

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

On veut isoler x. On multiplie toute l’équation par x – à condition d’ajouter l’hypothèse x ≠ 0. Elle est de toute façon vérifiée, car dans l’équation il y a la fraction $\frac{a}{x}$ et x est au dénominateur – or on ne peut pas diviser par zéro. On obtient ainsi l’équation :

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Pour isoler l’inconnue, utilise simplement les transformations équivalentes d’équations habituelles.