Symboles mathématiques

Les mathématiques sont pleines de symboles de toutes sortes, dans lesquels un simple mortel peut facilement se perdre. Cet article essaie de couvrir et d’expliquer au moins les symboles de base que tu peux rencontrer à chaque étape des mathématiques.

Liste de symboles

+, −, · , / : symboles de base des opérations courantes que sont l’addition, la soustraction, la multiplication et la division. Comme signe de multiplication, on utilise souvent l’astérisque * ou le point ordinaire « . ». Au collège, on écrit surtout le signe ×. Difficile de dire quelle est la bonne notation – les standards, les normes typographiques et les habitudes ne sont pas les mêmes partout. Le plus souvent, si le logiciel le permet, on utilise le point centré : ·. Pour la division, on utilise soit la barre oblique mentionnée, soit les deux-points :, soit encore les deux-points avec un trait au milieu : ÷. C’est sans doute la barre oblique qui est la plus utilisée.
(), [], {} : trois sortes de délimiteurs : les parenthèses, les crochets et les accolades. Ils ont des usages différents. Les parenthèses servent à indiquer la priorité des opérations et à regrouper des expressions. Si tu écrivais par exemple :

$1 + 2 / 3 + 4$

on ne saurait pas forcément ce que tu veux dire. En effet, cela signifie un plus deux tiers, plus quatre. Si tu voulais en faire une seule grande fraction, tu utiliserais des parenthèses :

$(1 + 2) / (3 + 4)$

Les parenthèses sont aussi utilisées, par exemple, pour écrire les coordonnées dans un repère. Si tu voulais noter le point de coordonnées x = 10 et y = 12, tu l’écrirais (10 ; 12). Les crochets servent à écrire des intervalles, et les accolades des ensembles.
x² : l’écriture en haut à droite sert pour les puissances. L’expression précédente x² peut s’écrire x · x. Ce qui est écrit en haut s’appelle l’exposant.
$\sqrt{}$ : signe de la racine carrée. Il désigne l’opération inverse de l’élévation au carré. Pour la racine carrée, on a :

$\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x$
% est le signe du pourcentage ; en mathématiques aussi, on l’utilise pour calculer avec des pourcentages. Il n’y a rien de plus compliqué derrière.
|x| : les barres verticales désignent la valeur absolue. La valeur absolue transforme un nombre négatif en nombre positif. Par exemple : |−5| = 5. En géométrie, la distance entre deux points A et B se note simplement AB (et la norme d’un vecteur se note avec des doubles barres verticales, $∥ \vec{u} ∥$ ).
! : le point d’exclamation désigne la factorielle. La factorielle donne le produit de tous les entiers naturels non nuls inférieurs ou égaux au nombre donné. Le point d’exclamation s’écrit après l’expression dont on veut calculer la factorielle. Exemple : 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
π est une constante mathématique typique. π, qui se lit « pi », est le nombre pi. On l’utilise le plus souvent en trigonométrie et en dessin géométrique, car c’est avec pi que l’on calcule par exemple le périmètre et l’aire d’un disque. Le signe π est une lettre de l’alphabet grec. Sa valeur approchée est 3,1415… Comme c’est un nombre irrationnel, on ne peut pas l’écrire en entier.
e est une autre constante mathématique importante, le nombre e (ou nombre d’Euler). La constante est nommée d’après Leonhard Euler, un grand mathématicien suisse. Le nombre e s’utilise le plus souvent avec les logarithmes – le logarithme népérien a justement pour base le nombre e. Comme pi, le nombre e est un nombre irrationnel, que l’on ne peut pas non plus écrire en entier. Sa valeur approchée est 2,71…
$D_{f}$ et Im f désignent l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction. L’ensemble de définition est l’ensemble des éléments que l’on peut choisir comme variable de la fonction. L’ensemble image est l’ensemble des valeurs que peut prendre la fonction.
$(\binom{1}{2})$ est un coefficient binomial. On dirait une fraction sans barre de fraction, mais avec des parenthèses autour. Ces parenthèses s’écrivent toujours ; on n’écrit pas simplement deux nombres l’un sur l’autre. Le coefficient binomial sert à écrire plus court les combinaisons.
ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ sont les ensembles standard avec lesquels on travaille en mathématiques. De gauche à droite, ce sont : les entiers naturels, les entiers relatifs, les nombres rationnels, les nombres réels et les nombres complexes.
⊂ , ∈ , × sont des opérateurs utilisés dans la théorie des ensembles. De gauche à droite : l’inclusion (sous-ensemble), le symbole d’appartenance d’un élément à un ensemble, le produit cartésien.
f′ désigne (plus précisément, c’est l’apostrophe qui désigne) la dérivée de la fonction f.
∧ , ∨ , ⇒ , ⇔ , ¬ sont des symboles utilisés en logique propositionnelle. De gauche à droite : la conjonction, la disjonction, l’implication, l’équivalence et la négation.
$\sum_{i = 1}^{n} u_{i}$ est le symbole de la somme ; il désigne la somme d’une suite u_i. C’est un symbole qui fait plutôt peur, mais il n’a rien de très compliqué. La somme commence à la valeur i = 1 et ajoute successivement les valeurs de la suite u_i en incrémentant (augmentant) la valeur de la variable i de un, jusqu’à ce que la valeur de i soit égale à la borne supérieure, c’est-à-dire n. On additionne ainsi successivement la suite :

$\sum_{i = 1}^{n} u_{i} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n}$

Disons que nous avons la suite u_i = i, c’est-à-dire la suite 1, 2, 3, … Comment écrirait-on la somme des cinq premiers termes de la suite ?

$\sum_{i = 1}^{5} u_{i} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$
$\prod_{i = 1}^{n} u_{i}$ est le symbole appelé produit ; c’est l’équivalent de la somme précédente, sauf que l’opération intérieure n’est pas l’addition mais la multiplication. Le produit donne le produit des termes donnés de la suite (la somme donne leur somme). Ainsi, le produit des cinq premiers termes de la suite précédente u_i = i s’écrirait :

$\prod_{i = 1}^{5} u_{i} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

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