Variationen

Variationen verwenden wir, wenn wir aus einer Menge von Objekten eine bestimmte Anzahl von Objekten auswählen und es dabei auf die Reihenfolge ankommt, in der wir diese Objekte auswählen.

Herleitung der Formel

Wir beginnen mit einer typischen Aufgabe zu Variationen: In einem Dorf findet jedes Jahr ein Wettbewerb im Zwetschgenknödel-Essen statt. In die Finalrunde sind insgesamt sieben fettverschmierte Teilnehmer gelangt. Berechne, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, wie diese sieben Teilnehmer die ersten drei Plätze belegen können.

Wichtig ist, dass es in diesem Beispiel auf die Reihenfolge ankommt. Wissen wir zum Beispiel, dass auf den ersten drei Plätzen Tom, Max und Jonas landen, so ergibt allein dieses Trio sechs verschiedene Platzierungen:

• Tom, Max, Jonas;
• Tom, Jonas, Max;
• Max, Tom, Jonas;
• Max, Jonas, Tom;
• Jonas, Tom, Max;
• Jonas, Max, Tom.

Das sind alles verschiedene Platzierungen, und wir wollen berechnen, wie viele verschiedene Platzierungen wir insgesamt zusammenstellen können, wenn es 7 Teilnehmer gibt.

Dazu verwenden wir die kombinatorische Produktregel. Wir sagen, dass wir Tripel der Form (x₁, x₂, x₃) auswählen, wobei x₁ der Teilnehmer ist, der auf dem ersten Platz gelandet ist, usw. Welche Teilnehmer können wir für x₁ einsetzen? Alle, also können wir für x₁ 7 Teilnehmer einsetzen. Welche können wir für x₂ einsetzen? Alle außer dem, den wir schon auf den ersten Platz gesetzt haben, also können wir für x₂ 7 − 1 = 6 Teilnehmer einsetzen. Für x₃ können wir dann die Teilnehmer einsetzen, die nicht auf dem ersten oder zweiten Platz sind, wir haben also 7 − 2 = 5 Möglichkeiten. Wir wenden die Produktregel an und erhalten die Gesamtzahl der Möglichkeiten: 7 · 6 · 5 = 210.

Wir können beobachten: Wollen wir die Anzahl aller Möglichkeiten für die ersten 4 Plätze wissen, so können wir für x₄ 7 − 3 = 4 Teilnehmer einsetzen, die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist also 7 · 6 · 5 · 4 = 840. Was können wir daraus ableiten?

Haben wir eine Menge mit n Elementen (hier im Beispiel 7 Esser) und wählen 3 Elemente aus, wobei es auf die Reihenfolge ankommt, so ist das Ergebnis gleich n · (n − 1) · (n − 2). Auf dem ersten Platz können alle landen, auf dem nächsten einer weniger usw. Daraus können wir die allgemeine Formel für die Auswahl von k Elementen aus einer Menge mit n Elementen ableiten: Die Anzahl der Möglichkeiten ist gleich n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − k + 1).

Diese Formel formen wir noch weiter um, und zwar mithilfe der Fakultät. Wenn wir uns ansehen, wie die Fakultät von sieben aussieht, 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1, und wie wir die Anzahl aller Medaillenplatzierungen berechnet haben, 7 · 6 · 5, sehen wir eine gewisse Ähnlichkeit. Wir müssen nur das Ende loswerden, d. h. wir müssen 7! durch 4 · 3 · 2 · 1 dividieren, wodurch nur 7 · 6 · 5 übrig bleibt. Und welchen Wert hat der Term 4 · 3 · 2 · 1? Er ist gleich 4!.

Wir können also schreiben: Haben wir eine Menge mit n Elementen und wählen insgesamt k Elemente aus, wobei es auf die Reihenfolge ankommt, so haben wir insgesamt

$$V(k;n)=\frac{n!}{(n-k)!}$$

Möglichkeiten (das V steht für Variation). Wenn wir in diese Formel die Zahlen aus dem Zwetschgenknödel-Wettbewerb einsetzen:

$$V(3;7)=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=7\cdot 6\cdot 5=210.$$

Rechner

Der folgende Rechner berechnet dir die Anzahl der Variationen für gegebene n und k.

Gelöste Beispiele

1. Bleiben wir beim Knödelwettessen. Wie würde sich die Anzahl der möglichen Medaillenplatzierungen ändern, wenn wir wüssten, dass zum Wettbewerb Ludwig Schnitzel angereist ist, der ein Ass ist und immer gewinnt? D. h. wie viele verschiedene Medaillenplatzierungen gibt es, wenn wir 7 Teilnehmer haben und Ludwig sicher gewinnt?

Das ist wieder eine einfache Variation: Der erste Platz ist sicher, und von den übrigen 6 Teilnehmern müssen wir noch bestimmen, wie sie den zweiten und dritten Platz besetzen können. Wir wählen also 2 Elemente aus einer Menge mit 6 Elementen aus, was auf die Variation

$$V(2;6)=\frac{6!}{(6-2)!}=30$$

führt.

2. Vor langer Zeit, als Ludwig Schnitzel noch kein solches Ass war, landete er regelmäßig unter den ersten drei. Wie viele verschiedene Medaillenplatzierungen gibt es, wenn wir 7 Teilnehmer haben und Ludwig sicher irgendeine Medaille bekommt?

   Dieses Beispiel unterscheidet sich vom vorherigen darin, dass wir nicht wissen, auf welchem Platz Ludwig gelandet ist; er konnte auch nur Zweiter oder sogar Dritter werden, wofür er sich bis heute schämt. Deshalb müssen wir insgesamt drei verschiedene Variationen berechnen: für den Fall, dass Ludwig gewonnen hat, dann für den Fall, dass Ludwig die Silbermedaille erreicht hat, und schließlich für die Bronzemedaille. Jedes Mal bleiben aber nur zwei Plätze, auf denen jemand anderes landen kann. War Ludwig zum Beispiel Zweiter, konnten die übrigen Teilnehmer entweder auf dem ersten oder auf dem dritten Platz landen. Wir berechnen also wieder eine Variation von 2 aus 6, müssen sie aber dreimal berechnen, für die drei verschiedenen Platzierungen von Ludwig. Die Anzahl aller Platzierungen ist somit gleich:

   $$3\cdot V(2;6)=3\cdot \frac{6!}{(6-2)!}=3\cdot 30=90$$

   Beachte, dass wir die Drei vor der Variation als V(1; 3) schreiben können, weil wir in Wirklichkeit ein Element (eine konkrete Platzierung) aus einer Menge mit drei Elementen (drei Medaillenplätze) auswählen.

3. An einer Schule gibt es insgesamt 20 Lehrer. Bald stehen die Abiturprüfungen an, und es muss eine Kommission in dieser Zusammensetzung gebildet werden: ein Vorsitzender, ein netter Beisitzer und ein strenger Beisitzer. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt?

   Als Erstes müssen wir die Frage beantworten, ob es auf die Reihenfolge ankommt – ja, tut es, drei Lehrer können wir wieder auf sechs verschiedene Arten durcheinanderwürfeln. Jetzt ist es einfach – wir wählen eine Variation von 3 aus 20 Elementen:

   $$V(3;20)=\frac{20!}{17!}=6840.$$

4. Wie viele dreistellige Zahlen können wir aus den Ziffern {0; 1; 2; 3; 4; 5} bilden, wenn keine Ziffer wiederholt werden darf?

   Kommt es auf die Reihenfolge an? Ja, 123 ist eine andere Zahl als 321. Wie viele verschiedene Tripel gibt es? Das ist eine einfache Variation von 3 aus 6:

   $$V(3;6)=\frac{6!}{3!}=120.$$

   Aber wir müssen noch die Variationen abziehen, die an der ersten Stelle eine Null haben, denn 012 ist keine dreistellige Zahl. Die Frage lautet nun – wie viele verschiedene Tripel gibt es, die mit einer Null beginnen? In diesem Fall wechseln die Ziffern nur an den übrigen zwei Stellen (die Tripel haben die Form (0, x₂, x₃)), also suchen wir, wie viele verschiedene Paare wir mit den Zahlen {1; 2; 3; 4; 5} bilden können. Das ist wieder einfach: V(2; 5) = 5!/3! = 20. Es gibt also 20 Tripel, die mit einer Null beginnen.

   Die Gesamtzahl der dreistelligen Zahlen, die aus den Ziffern {0; 1; 2; 3; 4; 5} bestehen, ist somit 120 − 20 = 100.

5. Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen können wir aus den Ziffern {1; 2; 3; 4; 5} bilden, wenn keine Ziffer wiederholt werden darf und die entstehende Zahl ungerade sein soll?

   Es kommt auf die Reihenfolge an, denn 123 ist eine andere Zahl als 321. Wir bilden eine dreistellige Zahl, die ungerade ist, was bedeutet, dass an den ersten beiden Stellen eine beliebige Ziffer stehen kann, an der letzten aber eine der Ziffern {1; 3; 5} stehen muss. Zuerst berechnen wir die Anzahl aller Tripel, die wir aus fünf Ziffern bilden können: V(3; 5) = 5! / 2! = 60.

   Jede Ziffer kommt an der letzten Stelle gleich oft vor, haben wir also 5 Ziffern, so kommt jede Ziffer 60 / 5 = 12-mal an der letzten Stelle vor. Wir haben drei Ziffern {1; 3; 5}, die an der letzten Stelle erscheinen können, also haben wir 12 verschiedene Zahlen, die auf 1 enden, 12 Zahlen, die auf 3 enden, und 12 Zahlen, die auf 5 enden. Wir wenden die Summenregel an und erhalten insgesamt 12 + 12 + 12 = 36 Möglichkeiten.

6. Berechne x, wenn du weißt, dass V(2; x) = 72. Anders gesagt: Aus einer Menge der Größe x wählen wir Paare aus und wissen, dass wir insgesamt 72 verschiedene Paare auswählen können. Wie groß war die Menge, aus der wir die Paare ausgewählt haben? Wir schreiben es auf:

   $$V(2;x)=\frac{x!}{(x-2)!}=72$$

   Weiter formen wir um:

   $$\begin{array}{rcl}\frac{x!}{(x-2)!}& =& 72\\ \frac{x\cdot (x-1)\cdot (x-2)!}{(x-2)!}& =& 72\\ x\cdot (x-1)& =& 72\\ x^2-x& =& 72\\ x^2-x-72& =& 0\end{array}$$

   Das ist schon eine klassische quadratische Gleichung, also lösen wir sie mithilfe der Diskriminante oder wir können die Gleichung in die Form

   $$(x+8)\cdot (x-9)=0$$

   umschreiben, aus der wir die Lösung schon ablesen können: x₁ = −8 und x₂ = 9. Die negative Lösung interessiert uns nicht, weil eine Menge keine negative Größe haben kann, also ist die Lösung der ursprünglichen Gleichung x = 9, die Menge hatte neun Elemente.